Sur le calcul aux différences finies 15 



p'(/) étant la dérivée de p(^). Je dis que ne change pas quand on permute p et 

 p^. Eu effet, en intégrant par partie on trouve 



P2('~] 



± 



d'où, eu changeant la variable d'intégration, 



1 



(IL 



Cela posé on a, en vertu du théorème 2, 

 . u , , fi 



h m 



si la limite au second membre existe. Et cette égalité subsiste si, dans le second 

 membre, on remplace par p. Nous avons donc démontré le fait suivant. 



Théorème 4. Si la limite au second membre de (20) existe quand on remplace p 

 par deux fondions différentes qui satisfont aux conditions 1°, 2" et 3" ces deux limites 

 sont identiques. On peut donc affirmer que la fonction 



ne dépend pas de p. 



En appliquant la même transformation que dans le i^aragraphe 2 la relation 

 (22) peut s'écrire 



hm - p,/ -) 'K^) (l^ = lira - p/ - ) 'H^) dz, 



X 



OÙ 



ou si l'on veut 



z 



,^[z)=Lt)dt-Y,'f{t) Aj, 



lim P2'(^) dz = lim p/(^) '^[z]x) de 



U. = ooJ (). = ooJ 



0 0 



En dérivant la relation (21) par rapport à z on trouve 



1 



rV(^) = --jp'(OPi'(f)f ■ (23) 



z 



