16 N. E. Nörlund 



Supposons par exemple que 



— 1 / 1 Y'^ — 1/1 \''~' 



p et q étant des nombres positifs. En substituant ces expressions dans (23) on trouve 



Posons 



on trouve 



log j ^ log j , 



ou bien 



0 



1 \P+'7- 



log 



P2 1^) 



On a donc ce théorème : 



1 



1 |7 1 V'+9-' 1 f / 1 



0 0 . 



si la limite au second membre existe, p et q étant des nombres positifs. 



§ 6. Voici une troisième méthode de sommation qui a été étudiée par MM. 

 Hardy et Marcel Riesz. Soit une fonction positive et croissante, si z'^ a, 

 qui tend vers l'infini avec s et qui admet des dérivées continues des deux premières 

 ordres. Supposons que p(^, soit de la forme 



p(^,ti.) = X(ix)-X(^). (24) 



En ce cas l'expression (5) prend la forme 



rr !^ [1 



S ,w = lim {J.f (.) (i - M) rf, _ |; (i _ M) ^ . (25) 



Nous allons voir que, si cette limite existe, on peut remplacer par une 

 infinité d'autres fonctions sans altérer la limite. 



L'expression (25) peut s'écrire sous la forme suivante 



