Sur le calcul aux différences finies 17 



ayant lu même significntion que plus haut. 11 s'agit d'étudier la dernière limite. 

 Soient Xj(^) et X2(^) deux fonctions qui satisfont aux conditions susdites. Nous allons 

 démontrer le fait suivant qui est voisin d'un théorème de Gesàro ^ et de M. Hardy''. 



Théorème 5. On a 



IJ. = QO / J 11 = 00 '"iVi^-iJ 



(26) 



si la limite an second membre existe ou est infiniment grande ponrim que ta fonction 

 t-tA ^(itisfasse à l'une ou Vautre des deux conditions suivantes : 



1" ou cette fonction est non croissante à partir d'une valeur suffisamment firande 

 0Q de z, 



2° ou bien elle croît avec .? (pour z >• zj mais de sorte que 



Ni < ^771' (2^) 

 X, {z) Xj(^) 



H étant une constante fixe. 



Supposons d'ahord que le premier cas se présente et que la limite au second 

 membre de (26) soit égale h un nombre fini l. Soit s un nombre positif. On sait 

 ti'ouver un nombre \).^^ > tel r|ue 



P- 



et une constante K telle que 



\'{z) 'm dz 



< ^X^(lj.), si [1 > X. 



En intégrant par partie on trouve 



Kiz) 6(z) dz = ^ 



j||j^»'M.)^^-||^jv(/)-H/)^//^^- (28) 



X 



On a donc quel cjue soit [j. >> (jl^, 

 jx;(.) '[{z) dz < (/ + s) X,(;.) - (/ -I- s) Jx.(^) A dz + K [x,(.; 



X IJ.„ '.r 



l'-o 



= (/ + S) (X,(i.) - X,(f.„)) + X,(j.J + K^l,(z 



d K 



dz l,'(z) 



dz Xj'(^' 



dz. 



' Bulletin ties sciences matliéinatiques (2) t. 13, (1889), p. 51. 

 - Quarterly Journal of Matlieuiatics t. 88, (1907), p. 2G9. 



