Sur le calcul aux (litférences finies 



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d'où, en vertu de (27) 



Faisons tendre vers l'infini on trouve 



d )'{^) 



ds. 



On a de même cette autre inéga 



lim ^Jx;(..)-H^) dz<l-e+2sH. 



et par suite 



lim fx;(,>) -H-e) '/i > / + £ - 2s/? 



' .:C ■ 



niais comme s est aussi petit que l'on veut on en conclut que 



A7.\kM'^[^)^'-^' = 1 c. q. f. d. 



[A = 00 ^^^l-*') J 



Si enfin le second membre de (26) tend vers l'infini, on démontre comme plus liant 

 qu'il en est de même du premier membre. 



Je dis que deux fonctions "k^iz) et "k^^^) ^"^'"^ équivalentes, si l'existence de la 

 limite (25) pour X == entraine l'existence de cette limite pour X = Xg et l'égalité 

 des deux limites, et si l'inverse a aussi lieu. 



Mais si l'inverse n'a pas lieu, c'est à dire s'il peut arriver (|ue la limite existe 

 pour X = X^ , mais non pour X = X^ , je dis que k.,{2) est plus eiïective que X^(ä'). 



De l'inégalité (27) résulte qu'on peut trouver une constante positive > H 

 telle que 



pour des valeurs suffisamment grandes de z. 



On voit donc que le théorème 5 permet de conclure que la fonction X(^) — z 

 est écjuivalente à un polynôme quelconque de z et équivalente à pour toute valeur 

 positive de p. 



La fonction log z est plus effective que z mais écjuivalente à toute fonction X 

 de la forme (log.s)^ (l^ > 0)- 



La fonction logg^' est plus effective que log^ mais équivalente à (logg^)'' 

 et ainsi de suite. 



