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N. E. Nöilund 



Soient maintenant oÇe) et r5^{s) deux fonctions qui satisfont aux conditions 

 indiquées au commencent de ce paragraphe. Nous en formerons de la manière 

 suivante une nouvelle fonction qui satisfait aux mêmes conditions 



oc 



(.) = -ja'(C)o,(j]f/C. 



(39) 



Cette fonction ne change pas cjuand on permute o et a,. En effet, en intégnint 

 par partie on trouve 



3,(^) = -j.(C)a/(^jijr/C, 



0 



et en écrivant an lieu de C 



'(C) dç. 



^2(^) = — [^(-^j^l' 

 0 



En dérivant par rapport à .~ on trouve 



{s) 



On vérifie sans peine qu'il est permis de dériver sous le signe d'intégration par ce 

 que les deux déruières intégrales convergent uniformément par l'apport à z. 

 Cela posé, je veux démontrer le théorème suivant. 



Théorème 7. Si la fonction '£(.?) est sommahle d'une part avec la fonction som- 

 mutrice a(^) et d'autre part avec la fonction sommatrice a^(^) on a 



]im I U?] d., = lim - Lf-] ,K^) de, 



X X 



ja'(^j^(^)c/,e', |a/(^)'K^).7^ (41) 



si les intégrales 



X 



et 



convergent absolument imir toute valeur positive de [i. 



(42) 



