Sur le calcul aux différences finies 29 



Théorème 8. iSi z^z) csf soitunahle dam:! le point, x reUitiveineitt à m elle est 

 sommahle dans les i oints x ± sw [s — 1, 2, 3, ...) et l'on a 



+ 0, co) - J^(.r,j^ _ (47) 



En effet 



Fix + cü, c«) — F{x^ ou) = w lim -äx] = co 'lLc) . 



[j[a, !J.) 



[j. — oc 



Théorème 9. Si la f(»ictuni est sommahle relativement à co dtins les points 

 n 



points et l'on a 



oj 2u) n — l 7 ; I • - 7 



X, X -\ , X -\- — , X -\ w, el'le est sonmuible relativement a — dans ees 



n n n n 



v=;i-l 



(0 



v=0 



n était un entier positif quelconque. 



VO) 



En effet remplaçons dans (4Ü) x [)ar x -\ ; on trouve 



v=«,— 1 



y fIx + co] ^ . lin. j ^ d. - y .(0 ^ .1 ^l. . 



Cette limite existe, en vertu des hy|)f)thèses faites, et elle est par définition égale à 



n Fix. 



On en confiât en particulier: 



Théorème 10. Si la fonction '^(.î) est sommahle relativement à co dans im inter- 



(0 



valle de lotia/te/tr to (j; < ^ < x 4- co), elle est sommahle relativement à - , n étant un 



— n 



entier pontife dans tout jxiint s > x. 



Si l'expression (4(5) tend uniformément vers une limite pour toutes les valeurs 

 de X situées dans un certain intervalle je dis que la fonction '{-{x) est uniformément 

 sommable dans cet intervalle. 



Si la fonction 'f(r) est continue [lour toute valeur finie de x>_a et si, dans 

 l'intervalle a ;^x <_a -\- oy, elle est uniformément sommable relativement à (o on 

 conclut immédiatement que F{x, (o) est une fonction continue de x, si x > a. 



Cela posé, je démontre le théorème suivant. 



