Sur le calcul aux différences finies 



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En effet 



^ ""^^ eu IJ'^^ p(rMJ.) ^^^^ p(r/, [j.) - 



- i li,n iL.) ^ - y 4^^, 



fl. = oo 



a 



(! + (!> [A 



= X 1 J ' f>(^/ — w, (x — (ü) ^ p(a — to, [X — (o) < 



1 Ihn lU)^ä.-<'.{.:)^A 



a 



Mais on veriße sans peine que les deux limites au second membre sont égales 

 et de signes contraires. 



Développements en séries. 



§ 8. Dans les paragraphes 2 — (> nous avons doinié diverses expressions do la 

 solution principale qu\ possèdent l'avantage d'être d'une grande généralité. Mais il 

 y a, lieu de se demander si l'on ne peut pas se debarasser des fonctions [j ou a, 

 et trouver d'autres expressions qui ne renferment pas ces fonctions arbitraires. En 

 général cela n'est pas possible, mais si l'on impose à la fonction 'f(,î) certaines 

 conditions on ])eut satisfaire à cette demande. C'est ce que nous allons démontrer 

 dans un cas particulier qui est d'ailleurs assez important pour les applications. 



Supposons que la fonction 'f(^) admette une dérivée d'ordre jii qui soit continue 

 pour les valeurs de s qui entrent en considération et telle que l'intégrale 



'P ,r as 



X 



converge. Supposons en outre que 



Il m ï (,; — 0 . 



S = ao 



Soit Bjs) le polynôme de Bernoulli d'ordre v 



s V — s 



S=0 



Bj, Bg, -7:^3 ... étant les nombres de Bernoulli. 



Soit B^^{,^) une fonftion périodique de s ayant la période oj et telle que 



Ï3 u) = B(-). si 0 < ? < CO. 



