32 N. E. Nörhmd 



Soit f{s) une fonction qui admette une dérivée continue d'ordre w. Considérons 

 l'identité suivante 



4 



h étant un nombre positif plus petit que to (0 j< A < w) et où l'on a posé 



i x+h i v=i v=i 



4 



iî^ = (- 1 )"' j^^-y^ -x-h)d2. 



Cette relation se démontre aisément en partant du terme reste JRm et en intégrant 

 par partie m l'ois de suite. 

 Posons 



et faisons tendre d'abord 4 puis |j. vers l'intîni. En choisissant convenablement 0(2-) 

 par exemple en posant 



cette limite double existe en vertu des hy[)otlieses faites relativement à la fonction 

 a{ß). Le premier membre tend vers 



a 



Dans le second membre il entre un assez grand nombre de termes, dont on 

 démontre sans peine qu'ils tendent vers zéro. On arrive ainsi à la relation suivante: 



Nous avons démontré cette relation en supposant que 0 <^h < w. 



Mais on peut supprimer cette condition, si l'on écrit la relation sous la forme 

 suivante 



"S",(.) = ff(.) & + I + j^ôîL+i) n,ik - .) & + (- D-fï^^î^^ rf- (60) 



ff '■'"^^ 0 0 



En effet, le développement (50) n'est qu'une autre forme de (49) quand 0 <^h -c (o, 

 et d'autre part on vérifie sans peine que, si (50) est vrai quand {n — l)oj_< < n eu, 

 il est vrai encore quand n M<zh < {)i -f- Ijw. 



