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V. Walfrid Ekman 



(lie Aufgabe wesentlich vereinfacht wird. Es soll auf den folgenden Seiten ein 

 Schritt gegen die Beantwortung der erwähnten Frage hinsichtlich ebener Bewegungen 

 gemacht werden durch Aufsuchen einer analytischen Eigenschaft, die unter gewissen 

 Bedingungen die Stromlinien kennzeichnen rauss. 



3. Als Einleitung betrachten wir die zylindrischen Koordinaten 



r = \/~x^ H = arctg s. 



Wir nehmen an, die die ^-Achse senkrecht schneidenden Geraden 6 = Konst.; 3=^ Konst, 

 seien Niveaulinien eines von z unabhängigen Integrals der Gleichung (3) und also 

 Stromlinien einer unendlich langsamen, ebenen Flüssigkeitsbewegung, die untersucht 

 werden soll. Es ist 



oder, weil nach unsrer Annahme von r unabliängig sein soll. 



Die partiellen Ableitungen können nun als gewöhnliche Ableitungen geschrieben 

 werden, und die Gleichung (3) wird: 



^^ + 4^ü:l^ = 0 (4) 



Das Integral dieser Gleichung enthält drei willkürliche Konstauten (ausser der 

 rein additativen), über welche zur Befreidigung der Grenzbedingungen verfügt werden 

 kann. In dem vorliegenden Falle wird die Aufgabe besonders einfach, weil die 

 Koeffizienten der gewöhnlichen Differentialgleichung (4) konstant sind. Sie würde 

 immer da lösbar sein, wenn die Koeffizienten nur von 0 abhängen, und zwar würde 

 dann stets drei willkürliche Konstanten (ausser der additativen) zur Verfügung stehen. 

 Wenn aber die Koeffizienten auch r enthalten hätten, würde (Jj im allgemeinen nicht 

 als Funktion von 0 darstellbar sein, und die Voraussetzung, dass die Linien 

 0 = Konst.; .ä- = Konst. Stromlinien seien, würde dann unzulässig gewesen sein; 

 jedenfalls könnte die Differentialgleichung höchstens zwei partikuläre Integrale 

 besitzen (ausser der trivialen Lösung '\ = Konst.), die dieser Voraussetzung entsprechen. 



4. Wir nehmen nun im allgemeinen ein ortogonales Koordinatensystem p^, 

 p2 in der x, ^-Ebene an, wo und pg bestimmte Funktionen von x und y 

 sein sollen. Es soll soweit möglich untersucht werden, unter welchen Bedingungen 

 die Kurven p^ = Konst, die Stromlinien einer entsprechenden ebenen Bewegung, 

 das heisst Niveaulinien einer von der Gleichung (3) definierten und von s unab- 

 hängigen Funktion '];, sein können. Von den drei Integralen dieser Gleichung (die 



