Eine analytisrhe Eigeiischiift der Stromlinien etc 



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Lösung '\ = Konst, fortwähreud unbeachtet) ist das eine auch ein Integral der 

 Gleichung (1), und repräsentiert eine wirbelfreie Bewegung. Es empfiehlt sich 

 daher zuerst die Bedingungen aufzusuchen, unter welchen die Gleichung (1) ein 

 von p., unabhängiges Integral besitzt. 



Infolge der bekannten Transformationsforinel ; 



dx- ' dr ^ ' 



d ill i dn\ d du 



(Hu \^'-> f-Pl/ &P2 ^^'i 8h 



und da infolge unsrer Voraussetzung '\ vou p., unabhängig sein soll, geht die 

 Gleichung (1) in 



8 '^'M _o 



8pi V's "'Pi/ 

 oder 



über. Die notwendige und hinreichende Bedingung, damit diese gewöhnliche Diffe- 

 rentialgleichung ein von p.^ unabhängiges Integral (ausser 'jj = Konst.) besitze, ist 

 offenbar 



dass heisst 



h., 



^(Tj^^Ip;)' (-^ 



wo 4>j und <ï>2 willkürliche Funktionen von und p.^ bedeuten. Es geht aus der 

 Gleichung (8) hervor, was auch Lamé bewiesen hat, dass wenn für die eine Kurven- 

 schar p, eines ortogonalen Koordinatensystems die Bedingung erfüllt ist, sie auch 

 von der anderen Kurvensohar p.^ befriedigt wird. 



Lamé hat für den dreidimensionablen Fall die entsprechende Bedingung in 

 einer anderen Form gegeben, die nur den einen Parameter p^ nebst seinen ersten 

 und zweiten Ableitungen in Bezug auf x, y, z enthält*. Sie lautet 



^'^ = ^(Pt)^ (0) 



wo 



f'pl\"^ I /f^plv I /'^Pl 



und F eine willkürliche Funktion von p, allein bedeutet. Jede der Bodingungs- 

 gleichungen (8) und (9) hat ihre besonderen Vorteile; als Ausgangspunkt fiir die 

 unten folgende Analyse wird sich die Gleichinig (8) empfehlen. 



G. Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes, Paris 1859, § XX. 



