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Sulle condizioni per la decomposizione di una cubica 

 in una conica ed in una retta. 

 Nota del socio F. BRIOSGHI 

 letta nella seduta del 6 febbraio 1876. 



In un breve lavoro pubblicato nell'ultimo numero degli Annali di Mate- 

 matica pura ed applicata Tomo VII." fascicolo 2.° ho determinato, completando 

 quanto aveva già scritto sull'argomento l'egregio prof. Salmon nel suo libro «A 

 treatise on the higher piane curves>>, le condizioni necessarie e sufficienti per la 

 decomposizione di una cubica piana in tre rette. Il metodo ivi dato è lo stesso di 

 cui ebbi già occasione di fare cenno a questo Corpo Scientifico trattando di ricerche 

 d'altra specie ; e consiste nel considerare i covarianti e gli invarianti delle forme 

 ternarie come funzioni intiere e razionali delle forme simultanee di un determinato 

 numero di forme binarie. 



Nel caso particolare che costituisce l'oggetto di questa Nota devonsi deternii- 

 nare le condizioni necessarie e sufRcienti perchè una forma ternaria cubica si possa 

 decomporre in una ternaria quadratica ed in un fattore lineare. Sia : 



Y =L — S u -i- 2 V 

 la forma cubica nella quale u, v sieno funzioni binarie, quadratica la prima, cubica 

 la seconda di xi , x-i. Evidentemente una forma cubica ternaria qualsivoglia potrà 

 sempre porsi sotto quella forma. 



Ora è noto che se P è eguale al prodotto di una quadratica ternaria per una 

 espressione lineare, sarà l'hessiano H di essa eguale : 

 (1) IL = Ì¥ -^ixf 



nella quale tp è una funzione lineare, X, ja coefificienti costanti. Ma ponendo : 

 A = -f- (w uY, z = {v v^, p = {u vY 



si ha : 



H = A 37^3 — 2 ^) a?^3 -+- (A w -4- 2 t) -f- 2 (A f — pu) 

 e siccome le forme binarie u, v ammettono oltre il covariante simultaneo p, un secondo 

 covariante simultaneo lineare indipendente q = {up), si potrà sempre in generale 

 rappresentare la forma lineare fp nel seguente modo : 



= a p ~i- ^ q x^. 



e perciò dal confronto dei coefficienti della x^ nella (1) si avranno le quattro relazioni: 



A = X -t- fx 

 — 2 p — 3 (1 {cf p -i- ^ q) 

 (A a* -4- 2 t) = — 3 X w 3 {(xp ^ ^qf 

 2 {Av — pu) = 2lv-i-[x{ocp-^-^ qf. 



2 



Dalla seconda di esse si hanno /3 = o, [x cx. = ^ ed essendo per la prima 



o 



X = A — /X le ultime due diventano : 



, . 2 (2 i w -4- t) = 3 pi -f- /) 



^ ' 2pu = ii{2v^c^ p^). 



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