Eammentiamo ora che indicando con B, C, E, K gli invarianti simultanei delle forme 

 binarie it', v 



■B = i{ur)\ C = i(TT)^ E = i(w^))^ K = i{vpf 

 e ponendo : 



G = A C — si ha = — (A — 2 B G E h- C E^) 



e le seguenti espressioni per le u, t, v in funzione dei covarianti lineari p, q: 



2 EH = (2 B E — A G) 2 K ]5 ^ G g2 



4 E^^;=(2E2-^A^G — ABE) p^ — 3 A K p'- g ^ 3 (B E — AG) j9 ?^ -4- Kr/^ 

 le quali sostituite nella prima delle (2), dal confronto dei coefficienti delle potenze 

 di p, q si ottengono le seguenti : 



4 A2 E -t- 2 (2 B E — A G) = 3 /j. E (A ^ 2 a'- E) 

 K = 0, 4AE-^2G — 3/j.B 



e da queste : 



f^ = |- ^^4^,BB-AG = -|-pi«^E^ 

 ed essendo y.o(. = ^ , si avranno le : 



a = ' ^- T E~ ' ^ — S E) (2 A E -4- G) = — E'* 



La seconda equazione (2) conducendo agii identici risultati quando si operi 

 sopra di essa come si è fatto per la prima, si avrà il teorema : 



Le condizioni necessarie e sufficienti per la decomposizione di una cubica in 

 una conica ed in una retta sono le due seguenti: 



K = 0, E^-i-(AG — BE) (2AE-^G) = 0 



oppure le: 



K = 0, E2-^2A (AG — BE)-4-BG — CE = 0 



per le quali posto: 



AG — BE 



^= —E^ 



si ottiene la : 



Y = (x^ oc p) (a?^3 — (xp — 3 w — a} p"-) 

 vale a dire la cubica F = 0 decomposta nella conica : 



e nella retta: 



x^ ^ a p = 0. 



