— n — 



Sulle condizioni che devono essere verificate dai parametri 

 di una curva del quarto ordine 

 perchè la medesima sia una conica ripetuta. 

 Nota del socio F. BRIOSGHI 



letta nella seduta del 6 febbraio 1876. 



Indicando con X\, 0*2, le coordinate di una curva del quarto ordine ; con a 

 una costante, e con y, ^, a tre forme binarie in Xi , xi degli ordini secondo, terzo, 

 quarto ; si può esprimere l'equazione di una curva generale del quarto ordine colla: 



(1) ^ = ax'%-^ Q-^ x\-^ i^x^-^ a = 0. 

 Se si suppone /3 = 0 si ha evidentemente da questa: 



(a x\ ^ a a — = 0 



e perciò se insieme alla /3 = 0 sussiste la a a. — 9 7^ = 0, la quartica F = 0 ri- 

 ducesi alla conica ripetuta a x-^ -4-87 = 0. Vogliamo ora dimostrare che le due 

 condizioni superiori non solo sono sufficienti come si è già provato, ma sono anche 

 necessarie. 



Premettiamo a questo scopo il seguente lemma : Se una funzione omogenea P 

 di i variabili dell'ordine n, è identicamente eguale alla potenza erresima di una 

 funzione omogenea © delle stesse variabili dell'ordine m; indicando con H l'hessiauo 

 della forma F e con Hip l'hessiano della forma 9 ; si ha identicamente : 



Nel caso che qui consideriamo essendo i = 3, r = 2, m = 2, sarà H(p costante 

 e si avrà quindi; 



(2) = fx F» 

 indicando /x una costante. 



Ora ponendo: 



i(77)'=A, 4-W=T, i{urxf=h; W = («7)^=n, {a^f=,, 

 si ha, essendo F rappresentata dalia relazione (1) : 



H= A a rr^s -+- 2 a a?^3 -1- (4 a T -I- a n — 3 A 7) a;'*3 (2 « co — 6 p 7 -i- 4 A /S) x^^ -h- 

 — 37T-^-4A« — 3771— ^)/3)a;%-4-(2p« — 2^i/3— 2t/3) 0-3-^- 

 -(-7/1 — at — /3w. 



Sostituendo i valori di H e di F nella (2), dal confronto dei coefficienti delle 

 potenze di x^ si ottengono dapprima le: 



^ a = , p = 0 

 per le quali i coefficienti di x^^^, x'^^ danno : 



(3) a (4 T ^ n) = 12 A 7 : a co = A /3 

 e quelli di x^^ , x"'^ le : 



/^x 2 «2 /,,_+_ 5 A a a — 27 A 7^ = 6 fl 7 (t n) 



^ ■ 0 A 7 (t ^ n)] ^ 0. 



