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Generazione dei connessi di 2° ordine e 2' classe. 

 Nota del Prof." A. ARMENANTE 



presentata da L. CREMONA 

 nella seduta del 5 marzo 1876. 



In questo lavoro ci proponiamo dì trovare una costruzione geometrica mediante la 

 quale possa generarsi un connesso di 2° ordine e di 2^ classe. 



In iin piano X si prendano sei punti fissi 'p\Pì., po e per essi si faccia passare 



il sistema di cubiche triplicemente infinito, sistema che dinotiamo con V. In questo 

 sistema sia trascelta ad arbitrio una cubica C. 



Si descrivano inoltre nel piano X quattro curve Li, L^, L^, Z4 del 5° ordine per le 

 quali i punti p siano doppi , e per le terne di punti ancora comuni a C ed a 

 ciascuna L si facciano passare quattro reti di coniche che dinotiamo con Ry, R.^, R^, R,^. 



Ciò posto, se immaginiamo una curva del sistema F, per la terna di punti ancora 

 comuni a r e a C si possono far passare quattro coniche rispettivamente appartenenti 

 alle quattro reti. Queste quattro coniche appartengono insieme ad una nuova rete. 

 Facendole corrispondere ai quattro vertici di un quadrangolo fissato ad arbitrio in 

 un piano U, verrà ad essere individuata xmivocamente la corrispondenza fra i punti 

 del piano e le coniche della nuova rete e quindi la trasformazione birazionale di 

 2° grado del piano rigato U nel pian ;: punteggiato X 



Tale trasformazione dipende dalla cubica F, di modo che facendo variare F, 

 abbiamo una trasformazione tale che ad ogni punto di X corrisponde il sistema di 

 tutte le rette del piano U, e viceversa ad ogni retta del piano U corrisponde il 

 sistema di tutti i punti del piano X 



Se ora non consideriamo tutto il sistema delle F, ma solo le F che verificano 

 un'altra condizione, si ha la generazione di un connesso. 



Se la condizione a cui si sottopone il sistema delle F è quella che le F seghino 

 una curva fissa del 6" ordine, per la quale i punti p siano doppi, in due terne di 

 punti ciascuna delle quali appartenga ad un fascio di curve F, il connesso generato 

 è quello di 2° ordine e 2' classe. 



§ 1- 



La equazione esistente tra le coordinate di un punto e di una retta in un con- 

 nesso di 2° ordine e 2" classe può sempre ridursi in una infinità di modi alla forma 



(1) 2 ArA, = 0 r = s = 1, 2, 3, 4 



dove A\ , Al, A^, sono connessi di 1" ordine e lodasse i quali noi scriveremo 

 come segue: 



