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Per questo il metodo che primo si affaccierebbe alla mente sarebbe quello 

 di determinale la funzione ausiliaria cp invece che colla condizione che al con- 

 torno i suoi valori fossero quelli di — logr, coli' altra che i valori di ^ fossero 

 ci loov 



quelli di — ; però si vede subito che questa condizione sarebbe incom- 



patibile colle altre , giacche mentre dalle proprietà generali delle funzioni che 

 soddisfano alla equazione = 0 risulta che i valori di ^ al contorno devono sod- 

 disfare alla condizione ds = 0, determinando la funzione a nel modo indicato 



J dp ^ 



si avrebbe invece j^'^ds = 27i , perchè, come è noto, essendo il punto {x',y') in- 

 terno a C, si ha I fii^^ ds = — 2tc. 

 J dp 



Conviene dunque seguire un altro metodo se sì vuole in generale ridurre la 

 formola (1) ad un altra che non contenga piìi i valori di U al contorno. 



Scriviamo perciò la derivata ^ di 9 al contorno sotto la forma: 



d'p dlogr , , 

 dp= d^-*-^^^^)- 



Siccome deve essere ( ^ c?s = 0, e si ha f ^ ds — — 2?: , dovremo avere 

 J dp J dp 



2 TI -^J (pì {s) ds = 0 ; e quindi se si pone (pi{s) = — ^ ^ ' essendo S la lun- 



ghezza del contorno, si dovrà averej ■^ds = 0, e allora verrà al contorno : 



dcp dlogr 2n d^p 



dp dp S dp ' 



Indichiamo ora con oi la funzione per la quale al contorno si ha: 



d^i dlogr 2n ^ 



dp dp S ' 



per questa funzione 91 la condizione^ ^^^^ ~ ^ ^^''^ soddisfatta, e si avrà: 



d(p dcpi dd) 

 Tp = d^-^d^^ 



e quando si riesca a determinare la funzione ©i in modo che le condizioni poste 

 sopra per 9 e la condizione precedente siano soddisfatte, comparirà in essa una co- 

 stante arbitraria additiva (perchè di essa sono date soltanto le derivate), e questa 

 costante si potrà determinare fissando il valore di ©1 in un punto. La funzione (|/ 



