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poi si potrà considerare come nna funzione qualunque che soddisfa alle solite con- 

 dizioni entro C inclusa la equazione A"^ (|> = 0 , e noi prenderemo per essa una qua- 

 lunque delle funzioni ài x e y indipendenti da x' e y' che soddisfano entro C alla 

 equazione A^(/< = 0 e alle altre condizioni solite, e il piii spesso per semplicità 

 potremo prendere per essa il valore zero. 

 Ora si ha dalla (1): 



U' .= ^Jf^ i^ogr -H 91 -4- dxdy ^ j'^ {logr -h ^i-t- ds 



e se, come abbiamo detto, <p e preso indipendente da x', y', la quantità^U è 



ima costante. Una costante pure è sempre la quantità j'j] ds; quindi poiché una 



costante deve necessariamente comparire in perchè di essa sono date soltanto le 

 derivate, si può dire che la formola, che risolve il problema, è la seguente; 



U' = ^ Jj F {logr (pi-^ ^) dx dy ^ ^ J ^ i^ogr (pi c^) ds ^ cost. , 



la quale, quando si prenda = 0, o si osservi che i termini che contengono <p sono 

 costanti, si può anche scrivere: 



(2) \J'=^jj¥{logr-^(pi)dx dy -^- ^ j ^ {logr -+- ,pi) i s cost. 



Questa formola dunque è la formola cercata, e il problema si risolve in con- 

 seguenza nel caso di un area piana qualunque C determinando una funzione 91 per 

 la quale oltre esser soddisfatte le solite condizioni entro C, al contorno si abbia: 



dcpi d logr 2n 



dp dp S ' 



essendo p la normale interna, e S la lunghezza del contorno. 



Nel caso poi di uno spazio S a tre dimensioni, si ha invece la formola seguente: 



S a- 



ove p e Ir normale interna alla superficie, e 91 è una funzione per la quale alla 

 superficie si ha: 



d^i r An 



dp dp G\ ' 



essendo gi l'area di questa superficie; talché così il problema della determinazione 



