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della funzione U che soddisfa alle solite condizioni e alla equazione A^U = F, 

 quando sono dati soltanto i valori di contorno o alla supertìcie, tanto nel 



caso di un area piana die di uno spazio a tre dimensioni, si riduce sempre alla 

 determinazione delle funzioni (pi corrispondenti che ora abbiamo indicato. E que- 

 ste funzioni cji nel caso che siano dati i valori di 4— al contorno o alla su- 



dp 



perfide fanno lo stesso ufficio delle funzioni di Green pel caso che siano dati invece 

 i valori della funzione U al contorno o alla superficie. 



Ammessa poi la conoscenza di queste funzioni fi per dati campi, s' intende 

 che le formolo (2) e (3), sebbene sotto certe condizioni valgano anche nel caso in 



cuiji valori di al contorno abbiano delle discontinuità, suppongono però sem- 

 pre l'esistenza della funzione U; talché se non si è certi di questa, dopo di avere 

 trovata la funzione (pi , conviene nelle formole stesse fare le opportune verificazioni 

 onde esser sicuri che la funzione U data da esse, soddisfi a tutte le condizioni 

 volute. 



2. Diamo ora le funzioni fi nel caso del cerchio, di due cerchi e della sfera. 



Indichiamo perciò con R il raggio del cerchio, con {p, 0) le coordinate polari di 

 un punto qualunque del suo piano, e con {p', $') quelle del punto {x', y') nel quale 

 si determinava sopra il valore di U'. . 



Ricordiamo poi che la funzione cp di Green relativa al cerchio è la seguente : 



(p =z logn — i log (^^ p^ -4- R^^— 2 RV cos (5 — 



e quindi si ha: 



p ^'^—^^ ^ cos — U) _ 1 Ra B^— pp^cog(g — 

 dp~' py^-^-Ri— 2EVp'co5(0 — 9 pV^-hR'^— 2RV|3'cos(5— 5')' 



mentre essendo; 



=I'p'^ _H — 2 p p' cos {9 — 0% 



si ha: 



dlogr _ 1 — p p' cos {0 — 0') 



dp p p^^p"i—2pp'cos{9 — e')' 



si vedrà subito che al contorno si ha per la funzione cp di Green: 



d(p d logr 1 



dp dp Bj ' 



e poiché nel caso attuale del cerchio per la funzione fi si deve avere invece: 



dfi dlogr 1 



dp dp R ' 



