si conclude che al contorno si ha ~p- = ^^-^-^ — — , e quindi, per un teorema noto, 



dp dp 



le due funzioni 91 e — cp non possono differire che per una costante, e si può pren- 

 dere perciò senz' altro : 



91 = — 9, 



ciò che ci mostra che nel caso del cerchio la funzione 91 non viene ad essere altro 

 che la funzione di Green stessa col segno cangiato. 

 Osservando ora che al contorno si ha: 



=z — (p = \log (b?-^ p'^—2'Rp' cos {0 — 9')^ = logr , 



e sostituendo nella formola (2), si ottiene pel valore di U' nel caso del cerchio, 

 quando sono dati i valori di sul contorno : 



F [log r — (p) pdpdO -4- ^J^^^ log(n^-^p'^—2U p' cos{Q--Q')^dO h- cosL 



essendo 



come trovai già con altri processi nella memoria sulla integrazione della equazione 

 U = 0 pubblicata nel Tom. V. degli Annali di Mat. pura e appi, 



3. Nel caso di due cerchi concentrici di raggi E e E', essendo E > E', per tro- 

 vare la funzione 91 potremmo servirci della formola generale che detti nella memoria 

 citata per la determinazione della funzione U in un punto interno qualunque fra i 



(l XJ 



due cerchi quando si conoscono i valori di -- — al contorno e che deve esser soddis- 



dp 



fatta la equazione U = 0. Volendo però trovare la funzione 91 indipendentemente 

 da quella formola procederemo come segue. 



Si osservi che tanto costruendo col processo da me indicato nella memoria ci- 

 tata una funzione 91-1- ■i ©2 di una variabile complessa x~>-iy di cui (p\ sia la 

 parte reale, e applicando a questa funzione lo sviluppo in serie di Laurent, quanto 

 anche osservando che (come mostrai in altra memoria (*) tutte le funzioni che sod- 

 disfano alla equazione A^ = 0 e alle altre condizioni solite fra due cerchi con- 

 centrici vengono a contenere un termine logaritmico e altri termini della forma 

 p^'^cosnB, p^'^sennB con n intero e positivo, si vede subito che la funzione 91 

 dovrà essere della forma: 



co 00 X 



91 z= Aglog p-^ 2 (A„ cosnO -f- B„ sen nQ)p^-^ 2 (A'„ cosnO B'„sm n B)—-^ cosi. 

 1 1 P 



ove Ao e le A„, B„ , A'„ e B'„ sono quantità costanti da determinarsi. 



(1) Sulle funzioni di una variabile complessa. Annali di Mat. pura e app. Tom. IV. 



