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Ora, se si ammette che anche alla serie che comparisce nel primo membro sia ap- 

 plicabile l'integrazione, basterà moltiplicare per P„ (0, (p, Oi, (pi) i due membri di questa 

 equazione e integrare rispetto a 0, 9 su tutta la superficie della sfera, per ottenere 

 subito : 



nE"-iY„ 91) = (ti -4- 1) ^-^ P„ (01, 91, <p'), 



OYvero : 



A') 1 I 'f- 



quindi, poiché sostituendo questo valore di T„ nella serie che comparisce in fi si 

 trova che effettivamente alla serie stessa si può applicare la derivazione quante volte 

 si vuole anche per p = R finche p' <^B,, e tutte le condizioni volute sono soddisfatte, 

 si conclude che nel caso della sfera, si avrà per la funzione cpi: 



91= P„ {e, <p, 6', 9') - cast. 



Conosciuto poi così il (pi, si conclude che per la funzione U nel caso della sfera si ha: 



r^sen 9 drd9d(p — 



dU / 1 



(pi^ sen 9d6d(p cost. 



Poniamo ora ^ =.t\ t sarà minore della unità e si avrà : 



1 00 1 <» 



^ E 1 E 1 n 



D'altra parte se si pone: 



ri—{l — 2tcos^-^t'^)\ 



essendo : 



cos y = cos9 cos 9' -+- sen 9 sen 9' cos {(p — (p') 



si ha: 



J-=|^"P„ = P„^i2i"-ip., 

 ri 0 1 



e dividendo per t e integrando rispetto a i per i compreso fra 0 e 1 (0 e 1 esci.) si 

 ottiene : 



1 n J «V^i_2fco57-K«* 



ovvero : 



