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Sulle serie ^»Un^'^ 



Nota del prof. GIULIO ASCOLI 

 presentata dal socio FRANCESCO BRIOSCHI 



nella seduta del 5 marzo 1876. 



Le considerazioni seguenti sono così semplici, che potrebbe sembrare inopportuno 

 il farle argomento di apposito scritto. Ad onta di ciò io le ho raccolte in questa 

 nota, perchè esse sono, a mio credere almeno, di qualche momento per la teoria delle 

 funzioni di una variabile complessa. 



Se per un valore di z il cui modulo è E i moduli dei termini della serie 2« i^„2" 



0 



non convergono all'infinito con n, la serie convergerà ogni qualvolta si abbia modz<^B, 

 indipendentemente dall'ordine dei termini. 



Indichiamo con (p(r) il limite superiore dei valori 



«0 , ai r, «2 ''^i ••• » '>i^od Un = , 7' <| E. 



La funzione © (r) è, mentre r varia da 0 ad E, inclusi i limiti, sempre positiva, 

 scevra da infiniti massimi e minimi e muta da ao a 9 (E). Facendo crescere r oltre E 

 ponno aver luogo tre casi: 



1° il simbolo <p(E-^£), £ essendo ima quantità positiva qualsivoglia, non ha 

 significato, 



2° esso rappresenta una grandezza, 



3° ciò ha luogo per tutti i valori di e <^ Ei — E (Ei > E), non già per quelli 

 che sono maggiori. Quale esempio valgano le tre serie 



1—, 2-^, Inz\ 



La circonferenza descritta con raggio Ei limita un area circolare che rispetto 

 alla serie S^nS" dicesi circolo di convergenza. 



l^&W interno del circolo di convergenza C la serie definisce una funzione contìnua 

 e ad un valore, che indicheremo con f{z). Descritta intorno ad 0 una circonferenza 

 di raggio E'<Ei, si potrà determinare ima quantità tale, che, segnato intorno 

 ad un punto qualunque del circolo E', compreso il contorno, un cerchio di area np^, 

 il modulo della dilferenza f {z') — f {z) sia ~ s, £ essendo una quantità arbitraria- 

 mente piccola, e z, z' due punti del circolo di diametro 2p, incluso il contorno. Se 



