resta finita nel cerchio di raggio E', incluso il contorno. Si potrà poi assegnare un 

 valore di ìi pel quale la espressione 



n (n) 



sia arbitrariamente piccola, e dare un numero M maggiore del massimo dei limiti 

 superiori di ciascuna delle funzioni 



modf{z), mod f (2), ... , mod f(^^~^){z) 



nel cerchio di raggio E'. Sarà quindi 



mod 



questa disuguaglianza dimostra la fatta asserzione. 



E manifesto che si potrà assegnare un limite superiore dei valori di pei quali 

 si abbia 



mod 



z essendo una quantità positiva piccola quanto si vuole. Detto p questo limite, esso 

 sarà funzione di s scevra da infiniti massimi e minimi, la quale tende a zero con s, 

 a meno che non si abbia f\z) = 0, ossia f{z) = u^-^u^z. 

 Se la serie 



converge nel punto zi posto sulla circonferenza di C al valore A, sarà 



limf{^zi)=^k, C = l-0, 



la variabile ^ percorrendo una successione di valori reali. 



Questo teorema può dimostrarsi come segue, in modo un po' piìi semplice di 

 quello tenuto da Dirichlet. 



Essendo 0<C<1 e w„zi"=c„, si ha lungo il raggio Ozt 



/■(z) = CoH- ciC-+- ; 



poniamo 



A 6«= Co-+- Ci-f- .. -+- c«_i , 



si avrà 



A-4-£i=Co, A-<-62=Co-+- Ci, A — £3=Co-^-Cl-^-C2,.... 

 e quindi 



Cl=£2 — £l» C2=£3 — £2, C3=£4 — £3» 



Perciò 



= A £i (£2-£l) ? - (S3-S2) C'-^ (£4-23) ^'-^ = 



1 " Vi m-t-l/ 



