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Nuova teoria delle soluzioni singolari delle equazioni differenziali 

 di primo ordine e secondo grado tra due variabili. 

 Comunicazione del prof. F. CASORATI 



fatta nella seduta del 5 marzo 1876. 



Le teorie, clie sopra le soluzioni singolari delle equazioni differenziali vennero 

 sinora portate a comune notizia, sono tutte più o meno incomplete ed auche in parte 

 inesatte; come ebbe già anche a rilevare pochi anni fa il sig. Darboux nell'Accademia 

 delle scienze di Parigi ('). Non sembrerà dunque inopportuna questa nuova teoria, se, 

 come credo, dessa risolva completamente ed esattamente le questioni che intomo a 

 tali soluzioni si sogliono presentare. Questa comunicazione versa soltanto sulla classe 

 più semplice delle equazioni suscettibili di soluzioni singolari ; ma, oltreché questa 

 classe ha già di per se grandissima importanza nell' analisi pura e neUe sue appli- 

 cazioni, ognuno riconoscerà nella presente trattazione della medesima buona parte delle 

 idee che devono servire per la trattazione di ogni altra classe. 



Le proposizioni, che qui verranno soltanto enunciate, si possono dimostrare brevemente 

 per mezzo delle cose esposte nella Nota Alcune forinole fondamentali per lo studio 

 delle equazioni algebrico-differenziali ecc., pubblicata nei Rendiconti dell' Istituto 

 Lombardo di scienze e lettere del 1874 ed anche nel fascicolo II del tomo VII degli 

 Annali di Matematica. 



I. 



Sia, come in essa Nota, 



a {u, V) du"" -+- 2 /3 (-1*, v) du dv y {u, v) dv^ = 0 (1) 



la equazione differenziale da considerarsi, dove a.{u, v), ^{u, v), y{u, v) significano fun- 

 zioni ài u e V, razionali intere e prime tra loro. 



Supponiamo che quest' equazione sia irriducibile, cioè che non si spezzi in due 

 equazioni differenziali ancora razionali in u,v du, dv; e che ammetta primitiva com- 

 pleta algebrica. Una tale primitiva potrà mettersi sotto la forma 



a {u, v) a^-^2b {u, v) Q-^ c {u, v) = 0 (2) 



in cui a{u, v), b{u, v), c{u, v) significano funzioni di u,v razionali intere e prime tra 

 loro, ed Q la costante arbitraria. 



(1) Sur la surface des centres de courbure dcs surfaces algébriques, nel Compte Rendu del 20 giu- 

 gno 1870. Réponse aux obscrvations da M. Calalan, nel Compte Eendu del 25 luglio 1870. 



