Eliminando fì tra questa primitiva e la sua differenziale immediata 



da .DJ-^2db .ù-^dc = 0 



si ha la risultante 



a 

 0 



da 

 0 



2b 



a 



2 db 

 da 



c 



2b 

 de 



0 



c 

 0 



0, 



(3) 



2 db de 



che deve coincidere col prodotto della (1) per una funzione 



e {u, v) 



razionale intera, la quale potrebbe anche essere una costante. 



Se una funzione '^{io, v), razionale intera in u,v e non decomponibile in fattori 

 pure razionali , eguagliata a zero, dia un' equazione in forza della quale riesca sod- 

 disfatta la (3), ma non la (1); una tal funzione dovrà essere fattore di 0; e la equa- 

 zione ^"=0 potrà dirsi, se si voglia, soluzione della (3), ma impropria; mentre propria 

 non dovrà dirsi una soluzione della medesima equazione, se non quando sia anche 

 primitiva della (1); la quale non si può ridurre ad identità che ricorrendo eziandio 

 alla differenziale della primitiva. 



In una equazione razionale intera E{u, v)=0, che si presenti come soluzione di 

 un'equazione differenziale, importa distinguere le varie equazioni razionali intere dei 

 gradi più bassi in cui possa spezzarsi. Alcune tra queste potranno non soddisfare la 

 equazione differenziale; ciascuna delle altre darà una soluzione semplice. Se queste ultime 

 sieno Si {u, v) = 0, S2 {u, v)=0, ecc., la E = 0 potrà chiamarsi soluzione composta di 

 queste varie semplici. 



Particolare diremo, come presentemente si usa dai più, una soluzione, 0 primitiva, 

 od integrale della (1) quando coincida con, 0 sia fattore di, un' equazione proveniente 

 dalla (2) col sostituirvi per 0 un numero particolare; e singolare ogni altra soluzione. 



Le precedenti teorie delle soluzioni singolari affermavano, in forme più 0 meno 

 variate, ottenersi cotesto soluzioni coll'eguagiiare a zero l'uno 0 1' altro dei discriminanti 





a 



/3 





a b 





/3 



, 9 = 







7 



b c 



senza prendere in accurato esame il rapporto fra questi discriminanti, e non facendo 

 distinzione tra i diversi fattori nei quali i medesimi potessero decomporsi. Ma una tale 

 distinzione è indispensabile; imperocché questi fattori si comportano diversamente a 

 seconda dei loro diversi gradi di multiplicità nei due discriminanti; ciò che i ragio- 

 namenti più in uso non facevano ne pure sospettare. 

 Per la relazione 



0^g==U^g, (4) 



che ha luogo tra g, g, 9 e il determinante 



a b c 



da db de 



k = du du du 



da db de 



dv dv dv 



Parte seconda — Vol. III.° — Serie 2.* 21 



