si fa manifesto che i fattori razionali e primi, ossia indecomponibili, i quali entrano 

 un numero dispari di volte in g entrano un numero dispari di volte anche in g. Te- 

 nendo conto di ciò, distingaeremo i fattori in sette specie, e, designando ordinatamente 

 con p, q, r, s, x, y, z un fattore qualsiasi per ciascuna specie, esprimeremo la com- 

 posizione rispettiva di (/ e g come segue 



2 H- 1 2 V -4- 1 2 ? 0 

 g = p ...q r s X tj .... 



2à-(-1 2pH-10 2',? 

 g=p ... q r s x i/ ... 



dove X, p., V, p, ^, vj, ^, Ci) significano numeri interi maggiori di zero, e vuoisi in- 

 tendere che ci possano essere più fattori di ciascuna specie; per esempio Xi , x^, .... 

 cogli esponenti 2Si , 2^ì , .... L'esponente 0 dì x avverte che questa è specie di fattori 

 mancanti in g; non e=sendovene in g , riterrebbesi x = Costante. 



Ecco ora il prospetto dei modi di comportarsi riguardo alla (1) per ciascuna delle 

 sette specie di fattori. Vi noteremo anche quali fattori dividano il moltiplicatore 0, 

 cioè diano (eguagliandoli a zero) soluzioni della (3), improprie se non soddisfacciano 

 la (1); e quali dividano il determinante k. 



1. " / fattori p danno tutte e sole le soluzioni singolari. Non entrano uè 

 in 9, ne in k. 



2. ° 1 fattori q danno sempre soluzioni particolari. Non entrano in 9, bensì 



in k. 



3. " / fattori r non danno mai soluzioni. Entrano in 9 ed in k. 



4. ° / fattori s non danno, in generale, soluzioni; e quando ne danno, que- 

 ste sono particolari. Entrano in 9 ed in k. 



5. ° / fattori X non danno mai soluzioni. Entrano in 9 ed in k. 



6. " / fattori y non danno, in generale, sohvzioni; e quelle che possono dare 

 sono particolari. Non entrano in 9, bensì in k. 



1.° I fattori z non danno, in generale , soluzioni ; e quando ne danno, 

 queste sono particolari. Entrano in 9 ed in k. 



Benché le proposizioni costituenti la parte puramente analitica della nostra teoria 

 delle soluzioni singolari si trovino per le equazioni della classe (1) compendiate 

 senz'altro in questo prospetto, tuttavia non giudichiamo affatto superflua la seguente 

 enunciazione delle medesime. 



Teorema. Sono primitive singolari tutte e sole quelle equazioni che si ottengono 

 eguagliando a zero i singoli fattori primi che entrano una sola volta in tutti e due i 

 discriminanti delle equazioni differenziale ed integrale. 



Questo teorema insegna a risolvere soltanto uno dei due problemi fondamentali della 

 teoria, cioè quello di dedurre le primitive singolari dalla primitiva completa. La solu- 

 zione del secondo, cioè di dedurre coteste primitive dalla equazione differenziale, scende 

 da quest'altro teorema. 



Teorema. Tra i fattori primi e semplici del discriminante dell'equazione 



2C 



(5) 



