— 163 — 



differenziale, quelli, che eguagliati a zero soddisfanno la equazione medesima, ne 

 danno tutte e sole le primitive singolari. 



Intendasi sempre pel caso dell'equazione differenziale di secondo grado. 



Teorema. Ogni fattore primo e semplice in g dà una primitiva della (1). 



Teorema. Un fattore multiplo in g dà, in generale, soltanto una soluzione im- 

 propria della (3); e quando la dà propria, questa è particolare. 



Teorema. Tra i fattori primi e semplici in g, quelli che sono multipli in g 

 danno primitive particolari della (1); e reciprocamente, quelli che danno primitive 

 particolari della (1) sono multipli in g. 

 E rispetto a ? isolatamente: 



Teorema. Se v' hanno soluzioni della (1) corrispondenti a fattori di g, esse sono 

 singolari quando corrispondono a fattori semplici, particolari quando a multipli. 



Eispetto a k: 



Teorema. / fattori di g e di g che danno soluzioni singolari non dividono k, 

 mentre lo dividono tutti gli altri fattori. 



IT. 



Usciamo ora dal campo dell'analisi pnra ed entriamo in quello della geometiia 

 per osservare, coir ajuto delle esposte proprietà, quale significato assumano i divei si 

 fattori dei due discriminanti nell'usuale interpretazione geometrica delle equazioni dif- 

 ferenziale ed integrale. 



Questa interpretazione consiste nel considerare la (2) come equazione in coordi- 

 nate cartesiane u, v di una famiglia di linee L in un piano , ognuna delle quali 

 con'ispondente ad un valore particolare di ù. Per ciascun punto (wq, t^o) ^el piano 

 passano due individui Li ed L2 di tale famiglia, cioè quelle due linee che coni- 

 spondono ai valori Q.y ed O2 di Q. che sono radici dell'equazione 



a (-^0, "^0) H- 2 ò (wo, Uo) fi c (wo, Uo) — 0 (6) 



e le cui tangenti 0 direzioni {du:dv)\ e {du:clv)<ì in esso punto sono date dall'equa- 

 zione 



a (wo, f 0) du^ -t- 2 j8 («0, '^o) d'>^ d'^ 7 ('^0, '^^o) — 0. (7) 



Per ogni punto del luogo g-=0 riescono eguali tra loro le radici , e perciò 

 tra loro coincidenti le linee Li , ; e per ogni punto del luogo g = 0 riescono coin- 

 cidenti tra loro le due tangenti. 



Eitenendo reali i coefficienti nelle funzioni a,b, c e però nelle oc, /S, 7, le regioni 

 del piano dove corrono linee reali della famiglia (2) sono quelle per i punti {uo, t'o) 

 delle quali ■ rannosi radici reali delle equazioni (6) e (7), cioè quelle per le quali sono 

 g <0,g^O. Ailcrchè, muovendosi il punto {uq, vq), questi discriminanti passano da 

 valori negativi a positivi, le radici delle dette equazioni cessano di essere reali. Le equa- 

 zioni dei confini tra le regioni di realità e quelle di non realità si ottengono egua- 

 gliando a zero i fattori che entrano un numero dispari di volte in (/, 0, ciò eli' è lo 

 stesso, in g. 



