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Tenendo presenti queste cose e le proposizioni del prospetto, è assai facile rico- 

 noscere i significati delle singole equazioni p = 0,...., q = 0, , z = 0.... 



1° Immaginiamo che il punto (uq, Vd) dall' interno delle regioni di realità 

 venga ad un punto qualsivoglia di una linea p = 0. Le radici Oi ed 0.^ diventeranno 

 eguali, e gii individui Li ed verranno a coincidere in uno stes so L, che toccherà 

 in quel punto il confine ^5 = 0 di realità, ma senza traversarlo e senza potersi con- 

 fondere con esso ; mai non essendo p = 0 individuo o parte d'individuo della fami- 

 glia (2). Dunque p==0 è inviluppo di tutte o di qualche serie di linee L. 



2.° Invece, essendo ogni linea della specie ^ = 0 integrale particolare, ossia 

 linea, o porzione di linea, L; se il punto corrente {uq, Vq) verrà i n una linea q = 0, 

 i due rami correnti, vale a dire i rami di Li ed L^ che passano per {u(,, Vq), ver- 

 ranno a confondersi in uno stesso ramo di Li = L^, il quale sarà la stessa linea ^=0. 

 Questa linea, essendo pure confine di realità, può insomma qualifìcars i come un vero 

 limite a cui tendono i rami correnti col tendere di [uq, Vq) al detto confine. 



E-ìempio. 



[vdu -^{u-^2v) dv]^ 16v^ (u-^v) dv^^O, g= 16 {u v) 

 (0 ^ i; (w = 0, g = v{u-^v), k~2v\ 6=^1. 



La linea p = u v = 0 inviluppa realmente tutte le L corrispondenti a valori nega- 

 tivi di 0. La linea q = v — 0 è porzione di quella in cui si confondono Li ed Ls 

 quando {u-o, Vq) giunge in v = 0. 



S.° Venendo {uq, vq) in una r = 0,ì rami correnti diverranno rami dell'unica L, 

 in cui si confondono Li ed L2; rami che si toccheranno nella linea r = 0, ma senza 

 traversare, ne toccare questa linea, poiché r = 0 non soddisfa la equazione differenziale. 

 Dunque r = 0 è luogo di cuspidi delle L. 

 Esempio. 



A du"^ — 9v dv'^ = 0 , g = ~SQ v 



{u — £l)^ — v^ = 0, g = — v\ k = Sv\ 9^ — v\ 



Le linee L sono i luoghi successivamente occupati da una fra esse che scorra paral- 

 lelamente all'asse delle u. La u"^ — v^ = 0 presenta una cuspide nell'origine, e però 

 l'asse delle u, cioè r = v = 0, e il luogo di questa cuspide. 



4.° Per una 5 = 0, se non soddisfi la equazione differenziale, vale quanto s'è 

 detto perr=0;mase soddisfi la equazione differenziale, vale ciò che si disse per g = 0. 

 Esempio di s = 0 non soddisfacente la equazione differenziale. 



A {du dv)"^ 25 dv^ = 0 , g=100v^ 

 {Q^u^v)'^-+-v^ — 0, g = v^, k=òv\ 9=:v^ 



Le linee L sono i luoghi che potrebbe successivamente occupare una fra esse scor- 

 rendo parallelamente all'asse delle w. Quest'asse, s=v=:0, verrebbe percorso dalla 

 cuspide di tale linea. 



