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Esempio di s — 0 soddisfacente la equazione differenziale. 



{vdu -+- 3 wc?v)^ 16 uv dv'^ = 0, g = 16 uv^ 



Tendendo ^;o) ad un punto di 5 = u = 0, i ra^ni correnti tendono a confondersi nel 

 ramo u = 0 della L (Li= Lì=ì;^*-hwv^=0) corrispondente alla radice doppia Oi=Q2=0. 

 Quanto alla = -w = 0, essa inviluppa realmente le L corrispondenti a valori ne- 

 gativi di Q. 



5. " Un fattore che entra un numero pari di volte in ^ od in g non dà linee 

 facienti parte dei confini di realità delle L. Dunque, in particolare, una a;=0 può 

 stendersi e dentro e fuori di queste regioni. Nelle regioni di realità, venendo il punto 

 (^■0, '^o) ad una a; = 0, i ri.mi correnti diventeranno rami di un unica L, non toccan- 

 tisi tra loro, poiché g non si annulla. Questa L avrà quivi un nodo. Ma in regioni di 

 non realità al nodo subertra il punto isolato. Insomma a; = 0 è luogo di nodi o 

 di punti isolai delle L; 



Esempio. 



(Q -(- vf -^- vu^ = 0 , g = vu^, k — — 2 uv, Q = u^. 



Ogni L corrispondente a valor positivo di 0 ha un nodo nella porzione di retta 

 x = u = fò contenuta nella regione g <C 0 ; ogni L coiJspondente a valor negativo di 

 Q. ha un punto isolato nell'altra porzione di tale retta. Quanto alla linea g = v = 0, 

 essa fa parte della L corrispondente ad 0.^ = 9% = 0, ed è asintoto di quei rami 

 della L che tendono ad essa col tendervi di (wo, fo). 



6. ° Arrivando {u^j, Uq) in un punto di una Knea y = 0 per entro la regione 

 di realità, 1 rami correnti non cesseranno di appartenere a due individui diversi Li ed L2, 

 ma le loro direzioni quivi coincideranno. Dunque, se non soddisfi la equazione diffe- 

 renziale, y = 0 sarà luogo di contatti tra le L. Quando invece y = 0 soddisfi la 

 equazione differenziale e sia quindi essa medesima ramo della famiglia (2), i rami 

 correnti verranno non soltanto a toccarsi, ma a confondersi affatto insieme con y = 0 ; 

 non potendo restarne distinto uno solo fra essi. La ^ = 0 apparterrà a due L differenti. 



Esempio di y = 0 non soddisfacente la equazione differenziale. 



(2 H- 1) du'^ uv 2) du dv ^{2u^-^ 1) dv"^ = 0, 



g = ^{v — uf {4: — u'^ — v^—6 uv) 



^ -y) Q 1 — w r= 0, ^ = -1 (4 — — v'- — 6 uv), 



k = ^{v-u), 9=1. 



Le linee L sono iperboli equilatere coU'asse trasverso nella retta y = v — w = 0, che 

 pertanto si toccano nei vertici, dei quali tal retta è appunto il luogo. Esso sono in- 

 viluppate dalla p = i — u"^ — — Q uv = 0. 



