Esempio di i/ = 0 soddisfacente la equazione differenziale. 



{v — 8 w -4- 8 w^) vclu^ -t- 2 (f — 4 w — Av?) u du dv dv^ — 0 

 5=16 \uv — (1 -H w^)'^] 



g = uv — {\-^u^f, k = 2u\ e = l. 



La retta ìj = u = 0 appartiene alle due L corrispondenti ai valori — 1 e -i- 1 di Q. 

 Quanto alla linea p — uv — {l u^f- = 0, essa inviluppa realmente le L corri- 

 spondenti a valori negativi di ù. 



7° Finalmente, venendo ('«■0,^0) in ™a z = 0, i rami correnti diverranno rami 

 della L nella quale vengono a coincidere tra loro Li ed L^; e poiché le tangenti 

 a questi rami vengono pure a coincidenza tra loro , conchiuderemo che z ~ 0 è 

 luogo di contatti tra due rami di singole L. Però, se soddisfi la equazione differen- 

 ziale, la ^ = 0 sarà linea in cui i due rami anzidetti verranno non puramente a toc- 

 carsi, ma a coincidere affatto tra loro. 



Esempio di z = 0 non soddisfacente la equazione differenziale 



A{l^v)du^ — v^{4:-^5vYdv^ = 0, 5 = — 4 ^2 (1 (4 ^ 5 v)2 

 {Q^uf^vi — v'^ = 0, g = ^{l^v)v\ k — — {A-^6v)v\ 0 = — v^. 



Le L sono i luoghi che può successivamente occupare una fra esse scorrendo paral- 

 lelamente all' asse delle u. Per 0 = 0 la L è simmetrica rispetto all' asse delle v, 



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ed ha forma di cappio, che da v~ \ si allarga sino a v— r-, per poi restrin- 



gersi e formare all'origine la singolarità che il sig. Cayley chiama tacnodo, esten- 

 dendosi finalmente in due rami infiniti nella regione f > 0. Allo scorrere della L, il 

 tacnodo descrive appunto la retta s = ^; = 0; mentre il punto della minima v=- — 1 

 descrive l'inviluppo p = l-i-'y = 0; ed i punti della minima e della massima u descri- 

 vono la retta y = 4-i-5u = 0, nella quale dunque si toccano le diverse posizioni della 

 linea mobile. 



Esempio di z = 0 soddisfacente la equazione differenziale 



v^du"^-^ àuv du dv -+-Au{u-i-l) c?f 2= 0 , g = Auv^ 

 fì2-H2vO-^'y2(w-^l)=:0 , g = uv^, /c = — ^;^ 0 = v\ 



La retta z — v = 0 fa parte della linea t)2 {w-i- 1) = 0 in cui vengono a confondersi 

 Li, Ili per Oi = Q2 = 0. 



Le cose esposte gettano molta luce anche sulle proprietà della jacobiana /c = 0; ma, 

 per non eccedere i limiti di una semplice comunicazione, tralascieremo per ora le osser- 

 vazioni relative a questo luogo ; tralasciando del pari quelle sul luogo 6 = 0, ed a 

 maggior ragione tutte affatto le altre particolarità interessanti, che si trovano, come 

 è subito visto, in copia e varietà viepiìi crescenti quanto più a lungo si vuole con- 

 centrarsi sull'argomento, procedendo anche ad ulteriori suddistinzioni delle singolarità. 



