Sopra una proprietà dei piani tritangenti ad una 

 superficie cubica. 

 Nota di r. BRIOSGHI 



letta nella seduta del 2 Aprile 1876. 



È noto per le ricerche di Clebsch (Ueber symbolische Darstellung algebra! scher 

 Formen - Borchardt - Journal fiir die Mathematik - Band. 59) che le bitangenti ad 

 una curva del quarto ordine sono tangenti comuni a due curve della decima classe. 



Una proprietà affatto analoga sussiste pei piani tritangenti ad una superficie del 

 terzo ordine e cioè: 



/ piani tritangenti ad una superficie cubica sono insieme piani tangenti a 

 tre determinate superfici della decima classe. 

 Sia: 



(1) P = 0C\ 3 U£C4 -H V = 0 



la equazione di una superficie cubica. In essa le TI, V sono due forme ternarie in 

 sci, ocì, 0C3 quadratica la prima, cubica la seconda; ossia: 



(2) J] = lx\-^2mo?i-^n; V = a a;=»3 3 ,iS .5r"-3 3 7 a'j § 



essendo le l, m, n ; a, /3, 7, S forme binarie in Xi , x«2 rispettivamente degli ordini 



0, 1, 2; 0, 1, 2, 3. Sia ora: 



(3) ^1 a'i ^2 o:^ -+- ^3 a--3 -h- S4 =^ 0 



la equazione di un piano; eliminando la da quest'ultima e dalla P = 0 si ottiene la 



f {Xi, X., X,) = r/'i ?3 oc^f 3 U (?i H, x,, ^3 oc,) ^\ — V ^C.^ 0 



ossia la equazione di una curva del terzo ordine. Se il piano (3) è piano tritangeute 

 della superficie (1) dovrà la forma f decomporsi in tre fattori lineari e reciproca- 

 mente. Ma indicando con h il covariante hessiano della forma /, si ha, come è noto, 

 che nel caso qui considerato h è eguale al prodotto di una costante pei tre fattori 

 di /", cioè si ha: 



(4) h = ixf 



essendo una costante. Sviluppando il valore superiore di f si ha: 



f = a x^z --^ 2> b x\ 'ò c Xi ->r- d 



nella quale: 



a = l\-^Zllzl},-af,, b^i^h-^ieù^-^ (2m^3-^?4)?*4 

 c = S3 2 m S\ - (77 - 7 ^\ , c? = 3 ri f 4 ? - 

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