— 258 — 



posto per brevità ? = ?i a"i ^2 x^. Ora dal valore di f si ottiene facilmente: 



-^[ia {ddf b {cd)^ — I c (ce) 2 — 2 (c^6c)2] .^Cg h- | ò (dc?)^ — c {cd}^ 1 (cc)^ 



le quali espressioni sostituite nella (4) eguagliando i coefficienti delle medesime 

 potenze di Xz conducono alle relazioni: 



i a {ccf — {bcf = iM\ a {ed)- — ^b (ce)- — {bd,f= 3 ixb 



\ a {ddf -+- b {cdf — 4- c {ccf — 2 {dbc)- = 3 ,ac; i & (dci)^ — c {cdf -^\d {ccf = uf/. 



Sostituendo il valore di y. ricavato dalla prima di queste relazioni nelle altre tre 

 si ottengono le seguenti: 



a 2 (cdy- —2 ab (cc)^ 3 {bcY — a {bdf = 0 

 X «2 (dd)'- ab {cdf — 2ac (ce)- — 2 ft {dbcY^ -4- 3 c (òc)"^ = 0 



i flè (drf)^ — ac{cdy- d {bcf = 0. 



Queste equazioni le quali sono degli ordini 1, 2, 3, rispetto alle Xi , Xi , devono 

 verificarsi identicamente per la sussistenza della (4); potremo quindi porre in esse 

 in luogo delle X\, Xì le — ^2,^1, e le equazioni stesse non conterranno più se non 

 le ^1, S2, S3, Si ed i coefficienti delle forme binarie l, m, n; a, /S, 7, d. Le equazioni 

 stesse rappresentano quindi tre superfìci alle quali è tangente il piano (2). Esse sono 

 apparentemente degli ordini 13, 14, 15 rispetto alle ^1 , S2 , ^3 , ^4 , ma scorgesi facil- 

 mente come ]a prima contenga il fattore , la seconda il fattore ^^4, la terza il 

 fattore ^'4 e quindi come quelle equazioni sieno del decimo ordine; e quindi rappre- 

 sentino tre superfìci della decima classe. 



Analiticamente questo risultato equivale all'avere determinato tre equazioni dalle 

 quali si potranno dedurre i valori dei rapporti ^i'- ^t'- ^z' Supponendo eliminate 

 da esse due fra quei parametri si otterrà una equazione che darà i valori del rapporto 

 fra gli altri due, equazione la quale, come è noto, dovrà essere del quarantacinque- 

 simo grado. 



Aggiungeremo un'altra osservazione relativa alla eguaglianza (4). Si conosce che 

 una forma ternaria cubica /" ha oltre h due covarianti ^; e S del sesto e del nono 

 ordine, e due invarianti s, t. È pure noto che ponendo: 



(/■/?,)'■'• z=: f„ h,, -4- f,, h„ — 2 fsi ih: ; (A)" = tir Ihs -^f,s hr — fn h,., — fn K 



essendo r, s, t differenti fra loro ed eguali a 1, 2, 3; si hanno le: 



h h U 



hi /i2 A3 

 /ci kì kz 



■ ?,sh). 



h=^2{:±ifntnM; k 1 {fhy^ f,. ih : 0 = 



i{ffrihs = ^sf- i{hhrf,,^^{tf^ 



