— 260 — 



Alcune proprietà metriche 

 dei complessi e delle congruenze lineari in Geometria projettiva. 



Nota di ENRICO d'OVIDìO professore neir Università di Torino 

 presentata dal Socio L. CREMONA 

 nella seduta del 2 aprile 1876. 



L'argomento di questa Nota è strettamente legato con altri tre precedenti miei 

 lavori, cioè: 1° « Studio sulla Geometria proiettiva » (Annali di Matematica, Serie II 

 tomo VI), 2° « / complessi e le congruenze lineari nella Geometria proiettiva » 

 (ibid. t. VII), 3° « Alcuni luoghi e inviluppi di 1° e 2" grado in Geometria proiet- 

 tiva » (Rendiconto dell'Accademia delle Scienze di Napoli fase 7° 1875); e sarà 

 a sua volta seguito da altre pubblicazioni riferentisi, come le citate, alla Geometria 

 proiettiva, vale a dire alla teoria degli spazii o varietà di piìi dimensioni e di curvatura 

 costante^ applicata a casi ne' quali essa è suscettiva di una rappresentazione geome- 

 trica piìi 0 meno semplice, e precisamente ai casi di 3 dimensioni (punti o piani), 

 di 4 (rette), di 5 (complessi lineari di 1° grado), di 8 (congruenze, o fasci di com- 

 plessi), di 9 (reti di complessi), ed altri. 



Nella presente Nota, dopo aver di nuovo insistito sulle nozioni importanti, già 

 stabilite ne' succitati lavori, di doppia distanza fra due rette e di doppia distanza fra 

 due congruenze, io aggiungo la nozione di distanza fra un complesso e ima con- 

 gruenza, e ne esibisco altresì la espressione analitica, sia in coordinate di complessi, 

 sia di congruenze. Indi applico le dette nozioni alla ricerca di parecchie proposizioni, 

 nelle quali le congruenze si comportano come i punti e le rette nella Geometria 

 motrico-proiettiva, e che presentano grande analogia con le pili rilevanti proprietà 

 de' triangoli sferici e de' tetraedri nella Geometria euclidea. Il breve lavoro termina 

 con la definizione della proiezione della distanza fra due complessi sopra una con- 

 gruenza, e con la dimostrazione di un teorema analogo a quello che nella Geometria 

 euclidea fornisce la relazione fra xm segmento di retta e la sua projezione sopra 

 un'altra retta. Un caso particolare di questo teorema fu già enunciato dal ch.° Prof. Sche- 

 RiNG (Gott. Nachr. 1870). 



I. 



Notammo in altra occasione (') che, quando la retta si considera come luogo 

 di punti 0 inviluppo di piani, due rette hanno due distanze, ciascuna delle quali è 

 una distanza (segmento) fra due punti o una distanza (angolo) fra due piani. Quando 

 poi la retta si considera come direttrice di un complesso speciale in uno spazio o 



(') Cfr. § III dello Studio sulla Geometria proieiliva - (Annali di Matematica, serie II, tomo VI, 

 pag. 72 a 100). 



