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secondo la denominazione di Plueckee (') è uno spazio a tre dimensioni i cui elementi 

 sono rette. Il com|)lesso è di grado n se sono n le rette del complesso che passano 

 per un punto dato ad arbitrio e giacciono in un piano condotto pure ad arbitrio per 

 esso punto. Se il complesso dicesi lineare. 



3.° I signori Noether (^) e Lie partendo da diversi punti di vista, die- 

 dero una rappresentazione (") d'un complesso lineare € sullo spazio ordinario co- 

 stituito da punti, in virtù della quale ai piani di corrispondono le congruenze 

 lineari (") contenenti una retta fissa (fondamentale) r appartenente al dato com- 

 plesso, e alle congruenze lineari contenute in C (in generale non contenenti r) corri- 

 spondono le quàdriche (superficie di 2° grado) passanti per una conica fissa (fon- 

 damentale) fc'. I punti del piano n di M', non situati in questa conica, corrispondono 

 alle rette di € infinitamente vicine ad r, ma non seganti r. Ad un punto M di fc' 

 corrispondono tutte le rette di € che passano per un punto M di r, le quali 

 sono in \m piano passante per r. Ai punti di una retta g' qualunque in corrispondono 

 rette di c che sono generatrici di un iperboloide, fra le quali è compresa anche r. 

 Ma se g' incontra in un punto M', V iperboloide si spezza in due fasci piani, l'uno 

 delle rette di € passanti pel punto M di r, l'altro delle rette di €."i che passano per 

 un punto G e conseguentemente giacciono in un piano y (piano polare di G rispetto 

 al complesso C). Donde risulta che ai punti dello spazio ordinario S nel quale è dato 

 il complesso €, cioè ai centri de' fasci piani contenuti in C, e simultaneamente ai 



(') Neue Geometrie cles Raumes gegrilndet auf die Beirachiung der geraden Linie als Raumele- 

 ment (Leipzig 1868-69;. 



(-) ZuT Theorie der algehraischen Funclionen mehrerer complexer Variabeln (Nachrichten di 

 Gottinga 1869). 



(3) Over en Classe geomeiriske Transformalioner (Atti della Società di Christiania 1871). — Ueber 

 Gomplexe, insbesondere Linien-und Kiigel-Gomplexe, ale. (Matheraatische Annalen t. 5;. — Il presente 

 mio scritto non lia altro fine che di attirare l'attenzione su cotesti bellissimi lavori del signor LiE, 

 ridondanti di concetti originali e fecondissimi. 



(4) Dico una e aggiungo la più semplice, quella cioè che corrisponde alla trasformazione omo- 

 grafica d' uno spazio ordinario iu un altro spazio ordinario. Infatti, in quella rappresentazione gli 

 spazi di due e di una dimensione contenuti nello spazio ordinario e definiti da equazioni lineari, 

 vale a dire i piani e le rette, corrispondono a spazi analogamente subordinati al complesso lineare, 

 definiti essi pure da equazioni lineari, ossia a congruenze lineari (contenenti la retta fondamentale) 

 e ad iperboloidi rigati (contenenti la retta fondamentale). Si potrebbe, invece, fare la rappresenta- 

 zione in modo che queste congruenze corrispondessero a superficie di qualunque ordine dato, purché 

 costituenti un così detto sistema omaloidico. Vero è che questa rappresentazione si può con- 

 siderare come risultante dalla prima e da una delle trasformazioni da me studiate in una Memoria 

 inserita negli Annali di Matematica (t. 5). 



(^) Eitenuta la denominazione di FLXJECKEE,congruen za è uno spazio di due dimensioni /iwZma 

 di raggi secondo Kummee), i cui elementi siano rette. Se delle rette d'una congruenza ve ne sono n 

 passanti per un punto arbitrario ed m situate in un piano arbitrario, la congruenza dicesi d'ordine n 

 e di classe m. Quando m=?i, la congruenza dicesi di grado n. Lineari appellansi le congruenze 

 di 1° grado. 



