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piani di questi fasci, corrispondono in S' le rette appoggiate alla conica fondamen- 

 tale R', rette che formano un complesso O' di 2° grado. 



4. ° Tre punti nello spazio S' individuano mi piano; i tre raggi corrispondenti 

 in C, insieme con r, determinano la congruenza lineare che corrisponde al piano. 



5. ° Due piani in S' hanno in comune una retta; così i raggi comuni alle con- 

 gruenze che corrispondono a quelli, sono le generatrici dell'iperboloide corrispondente 

 alla retta data: iperboloide che ha per generatrice anche la retta r. La generatrice 

 infinitamente vicina ad r corrisponde al punto in cui la retta comune ai due piani 

 dati incontra il piano ti'. Le direttrici dell'iperboloide sono a due a due rette reci- 

 proche rispetto a C e formano un' involuzione : due qualsivogiiano di queste rette 

 reciproche sono le direttrici di una congruenza comprendente in se l' iperboloide e 

 corrispondente ad un piano del fascio individuato dai due dati. I punti in cui questo 

 piano incontra li' corrispondono a quelli dove le due rette reciproche sono appog- 

 giate ad r. I raggi doppi dell' involuzione appartengono al complesso C e corrispon- 

 dono a quei piani del fascio che toccano la conica m'. 



6° Due punti in determinano una retta; i due raggi corrispondenti in € 

 individuano , insieme con r , l' iperboloide le cui generatrici corrispondono ai punti 

 della retta data. Se la retta incontra M, l'iperboloide si spezza in due fasci di raggi; 

 r uno corrisponde al solo punto di M' ed è formato da rette concorrenti in un punto 

 di r; V altro è costituito dalle rette corrispondenti alla serie de' punti della retta 

 data. Se due rette in si segano, gì' iperboloidi corrispondenti in C hanno, oltre 

 ad r, un' altra generatrice comune (corrispondente al punto d' incontro delle due rette 

 date) e due direttrici comuni, che sono le direttrici della congruenza corrispondente 

 al piano delle due rette date. Se le due rette in S' s'incontrano sul piano t:,' i cor- 

 rispondenti iperboloidi si toccano lungo la generatrice comune r. A tutte le rette in s' 

 passanti per uno stesso punto corrispondono in € gì' iperboloidi passanti (per r e) 

 per imo stesso raggio, il corrispondente del punto dato. A tutte le rette contenute in 

 uno stesso piano in s' corrispondono in € gì' iperboloidi passanti (per r e) per una 

 stessa coppia di rette reciproche, le direttrici della congruenza corrispondente al piano 

 dato. A tutte le rette di S' passanti per uno stesso punto e contenute in uno stesso 

 piano corrispondono in C gì' iperboloidi passanti per un dato quadrilatero gobbo, for- 

 mato da r, da un altro raggio di € e da due rette reciproche t, ti. Le coppie di 

 piani {xt, rty), {xt^, rt) comprese in questo fascio d'iperboloidi corrispondono alle due 

 rette del dato fascio in che incontrano K-'. 



7. ° Tre piani in individuano un punto, al quale corrisponde il raggio di € 

 comune alle tre congruenze (contenute in € e passanti per r) che corrispondono a 

 que'tre piani. Lo stesso raggio, insieme con è segato da un numero doppiamente 

 infinito di coppie di rette reciproche ; ciascuna coppia dà le direttrici di una congruenza 

 corrispondente ad un piano passante pel punto comune ai tre dati. 



8. ° Un piano qualunque // in S' sega u.' in due punti M', M'i: alle rette pas- 

 santi per questi punti .e contenute in quel piano corrispondono i punti di due rette re- 

 ciproche g, Qi rispetto a C, le quali sono le direttrici della congruenza corrispondente 

 al piano dato p/. Le rette g, g\ incontrano r in due punti M, Mi che, in un certo senso, 

 corrispondono ad M', M'i. Ai punti di una retta esistente nel piano p! corrispondono le 



