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generatrici d'un iperboloide contenuto nella congruenza che corrisponde al piano dato. 

 A ciascuno de' punti M', M\ corrispondono i raggi d'un fascio il cui centro è il punto M 

 od Mi ed il cui piano passa per r. Per conseguenza l'iperboloide corrispondente alla 

 retta comune ai piani pi, n si decompone ne' due fasci piani i cui centri sono M, M\. 

 Se il piano [x varia restando fissi i punti M , M\ (o uno solo di questi), variano le rette 

 g, Qi, ma non già i punti Mi (o uno di questi). Se coincidono i punti M', M'i, coin- 

 cideranno anche i punti M, M', epperò le rette g, g'i\ vale a dire: ad un piano tangente 

 a R' corrisponde una congruenza speciale, la cui direttrice (unica) è un raggio del 

 complesso C appoggiato ad r. 



9. " Ad una congruenza contenuta in C, ma non contenente r, corrisponde una 

 superficie quàdrica in S', che passa per K': ai due sistemi di generatrici di questa 

 quàdrica corrispondono i punti delle due rette (reciproche, non appoggiate ad ?) di- 

 rettrici della data congruenza; e propriamente alle generatiici di un sistema corri- 

 spondono i punti di una direttrice e i piani per l'altra; ed alle generatrici del secondo 

 sistema corrispondono i punti della seconda direttrice ed i piani per la prima. Se la data 

 congruenza è speciale, vale a dire, se ha per direttrice unica un raggio di € non 

 appoggiato ad r, la corrispondente quàdrica in S' sarà un cono passante per M.' ed 

 avente il vertice nel punto che corrisponde all' anzidetto raggio di C 



10. ° Una retta arbitraria in S, insieme colla sua reciproca rispetto a C, indi- 

 vidua una conguenza lineare, di cui quelle due rette sono le direttrici, ed a cui corri- 

 sponde in §' una quàdrica passante per K'. Se la retta in § incontra r, la quàdrica 

 si spezza in due piani, uno de' quali è il piano tt', mentre 1' altro è quello che corri- 

 sponde alla congruenza le cui direttrici sono la retta data e la sua reciproca. Se la 

 retta in S appartiene al complesso €, la quàdrica è un cono. 



In un certo senso adunque si può dire che ad una retta data in S (e alla sua 

 reciproca rispetto a C) corrisponde in una quàdrica per k'. Se la retta in S passa 

 per un punto dato (o giace in un piano dato), la quàdrica conteii'à il raggio del com- 

 plesso C' che corrisponde al punto (o al piano) dato. Se la retta data in S passa per 

 un punto dato e giace in un piano dato (passante pel punto dato), la quàdrica avrà 

 per generatrici (di sistemi dilferenti) il raggio corrispondente al punto ed il raggio 

 corrispondente al piano. 



11. " Due quàdriche in S', passanti per K.', si segano lungo un'altra conica, 

 alla quale corrisponderà l' iperboloide (non passante per r) formato dalle rette di V, 

 comuni alle due congruenze che corrispondono alle due quàdriche date. Le direttrici 

 dell' iperboloide sono a due a due rette" reciproche e quindi formano un' involuzione: 

 due rette reciproche sono direttrici di una congruenza (contenente l'iperboloide) che 

 corrisponde ad una quàdrica del fascio individuato dalle due quàdriche date; e i raggi 

 doppi dell' involuzione sono quelle rette di C! che corrispondono ai due coni del fa- 

 scio. Quelle due rette reciproche (fra le direttrici dell'iperboloide) che sono incontrate 

 da r sono le direttrici della congruenza corrispondente al piano della conica comune 

 alle due quàdriche date. 



12. ° Alla serie dei punti di K' corrispondono le rette della congruenza spe- 

 ciale che ha per direttrice unica r, e che ha con un'altra congruenza qualsivoglia 

 (contenuta in ma non passante per r) un iperboloide comune, del quale r è una 



