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direttrice. Questo iperboloide corrispondo alla conica K' considerata come seziono 

 piana della quàdrica corrispondente alla congruenza qualsivoglia: vale a diro, tutte le 

 congruenze che comprendono in sè uno stesso iperboloide, pel quale r sia una diret- 

 trice, corrispondono a quàdriche cbe si toccano lungo la conica k'. Fra queste qua- 

 driche vi è un cono; esso corrisponde a queir altra retta dal complesso € che è pure 

 una direttrice dell'iperboloide. L' iperboloide è individuato quando sia data un'altra 

 direttrice g, oltre ad r: a quella direttrice corrisponderà una quàdrica per k', e tutte 

 le altre quàdriche tangenti a questa lungo u! corrisponderanno alle direttrici del- 

 l' iperboloide, 



13. ° Altrimenti : una congruenza (lineare) in C ha infinite rette appoggiate 

 ad r, le quali formano un iperboloide, e questo ha fra le sue direttrici un altro raggio 

 del complesso C. Questo raggio corrisponde al polo del piano n relativo alla quà- 

 drica per k' che coriisponde alla congruenza anzidetta. 



14. " Viceversa: ad un iperboloide qualunque le cui generatrici siano raggi del 

 complesso C corrisponde una conica segante M' in due punti corrispondenti a quelli 

 in cui l'iperboloide è incontrato da r. Se l'iperboloide è formato da rette del com- 

 plesso appoggiate ad r, la conica corrispondente coincide con M.'. Se invece r è una 

 generatrice dell' iperboloide, la conica corrispondente si spezza in una retta (che non 

 incontra là!) ed in un' altra retta posta nel piano ;:': le due rette hanno in comune 

 quel punto che corrisponde alla generatrice infinitamente vicina ad r. 



15. ° Si è già detto che ad un punto G dello spazio S corrisponde in S' un 

 raggio g' del complesso C', cioè un raggio appoggiato a li' : ai raggi di C passanti 

 per G corrispondono i punti di cf (ovvero, se si vuole, i coni che hanno questi punti 

 per vertici e u! per base); alle rette passanti per G ma non appartenenti a C cor- 

 rispondono le quàdriche che contengono g' e K'. A tutti i punti G di un piano il 

 cui polo rispetto a C sia E, corrispondono i raggi d'una congruenza in €', cioè le 

 rette che incontrano K' e quella retta é (appoggiata a K.') che corrisponde ad E. Il 

 punto comune al piano z e alla retta r corrisponde a quello in cui é incontra K''. 

 Alle rette del piano è corrispondono le quàdriche contenute nella predetta congruenza, 

 cioè le quàdriche le cui generatrici sono appoggiate a m' e ad é. 



16. ° A tutti i punti G di un iperboloide formato da raggi di C corrispondono 

 rette di una congruenza o sistema di 2° grado, avente per direttrici la conica K' e 

 una retta non appoggiata a K', ovvero una conica segante Mi in due punti, secondochè 

 r iperboloide contiene o non contiene la generatrice r. Se l' iperboloide è formato da 

 raggi di C appoggiati ad r, esso avrà un'altra direttrice appartenente al complesso C, 

 alla quale corrisponde un cono per k' : e ai punti dell' iperboloide corrisponderanno 

 le rette tangenti al cono nei punti di Bi', 



17. ° In un piano s' dello spazio sia tracciata una curva JJ d' ordine ^i! , 

 per la quale i punti /, B' comuni al detto piano e a K.' siano multipli rispettivamente 

 secondo i numeri a, jS. Alla curva L' corrisponderà in C una superficie gobba con- 

 tenuta nella congruenza lineare che corrisponde al piano Siccome JJ ha, all' in- 

 fuori di k', un numero 2n - « - jS di punti comuni con una quàdrica condotta ad ar- 

 bitrio per K', così una retta arbitraria in S incontrerà la superficie gobba in 2n,- a-/3 

 punti; vale a dire, questo numero è il grado della superficie. Un piano qualunque 



Parte seconda — Vol. HI." — Serie 2.'>- B7 



