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in S' incontra U in n punti; dunque una retta appoggiata ad r incontra n gene- 

 ratrici della superficie gobba: donde segue clie, per questa, la r è una generatrice 

 multipla secondo n - a - /3. Le n- oc- generatrici infinitamente vicine ad r corrispon- 

 deranno ai punti in cui U e incontrata dal piano n fuori di Si!. Le direttrici a, b 

 della congruenza saranno direttrici anche della superficie gobba. Una retta condotta 

 ad arbitrio per nel piano s' incontra JJ in altri n - a punti, ai quali corrispondono 

 altrettante generatrici della superficie gobba uscenti da un punto di a e contenute in 

 un piano per h; ed analogamente ogni piano per a contiene n-/3 generatrici con- 

 correnti in un punto di b. Agli n punti in cui JJ è segata da una retta del suo piano 

 corrispondono le n generatrici comuni alla superficie gobba e ad un iperboloide pas- 

 sante per le rette r, a,b. Ai 2n- oc - (3 punti in cui L' è incontrata da una conica 

 descritta in e per A', B' corrispondono le 2n - oc - ^ generatrici che la superficie gobba 

 ha in comune con un iperboloide passante per a, b. Viceversa una retta arbitraria in S 

 incontra 2n- oc- ^ generatrici della superficie gobba, alle quali corrispondono altret- 

 tanti punti comuni alla curva U e ad una conica per A', B'. Ossia, possiamo dire che 

 ad una retta incontrante la superficie gobba corrisponde una conica per A' , B' nel 

 piano e' (e come caso particolare una retta). Ma reciprocamente, ad una conica per 

 A', B' nel piano s' (o ad una retta) corrispondono infinite rette in S, tutte direttrici 

 d'uno stesso iperboloide che ha per direttrici anche a e b. 



Di qui segue che le proprietà concernenti le rette tangenti, osculatrici, bitan- 

 gentì, ecc. della superficie gobba corrispondono a quelle delle coniche per A', B' (') 

 e delle rette tangenti, osculatrici, bitangenti, ecc. della curva U. 



18. ° Ad una curva gobba d'ordine n situata in una quàdrica per K' corri- 

 sponde una superficie gobba, che è pure d' ordine n, perchè ogni altra quàdrica 

 per a! incontrerà la curva in oi punti fuori della conica fondamentale M'. La super- 

 ficie gobba ha due direttrici rettilinee a, b, che sono le direttrici della congruenza 

 corrispondente alla quàdrica su cui giace la data curva. Questa segherà rispettiva- 

 mente in a, ^ (<a:-+-/3 = n) punti le rette de' due sistemi esistenti sulla quàdrica; 

 perciò da ogni punto di a partiranno oc generatrici della superficie gobba, contenute 

 in un piano per b, e da ogni punto di b ne partiranno (3 contenute in un piano per a. 



19. ° Ad una curva gobba qualsivoglia G'^, che con M.' abbia k punti comuni 

 corrisponde una superficie rigata (gobba) d'ordine 2n-k, per la quale 7' è una ge- 

 neratrice multipla secondo n- k. I punti di questa superficie corrispondono alle rette 

 che incontrano la data curva gobba e la conica fondamentale K.'. I punti della curva 

 doppia della superficie corrispondono alle corde della curva data incontrate da u! : 

 quindi l'ordine della curva doppia, ossia il numero de' punti comuni a questa e ad 

 un piano e, sarà uguale al numero delle corde di G'n che incontrano u! ed una retta e' 

 appoggiata a m', il qual numero e (n-k) {n-1) h, dove h sia il numero delle corde 

 di G',i che passano per im punto arbitrario dello spazio {^). Un piano per r incontra 

 la curva doppia in h punti fuori di r, corrispondenti alle h corde di G'„ che escono 



(1) Ossia de' circoli, se si suppone che K.' sia il circolo imaginario alF influito nello spazio S'. 

 (-) Infatti: da un punto qualunque di e! partono h corde di C'n; un piano qualunque per e' sega 

 C')( in n punti, epperò contiene f n (n-l) corde di O'n; dunque il luogo dello corde di C» appoggiate 



