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(la mi punto di k'; dunque la curva doppia ò appoggiata ad r in (oi-k) {n - 1) punti. 

 Un'altra generatrice qualunque incontra la curva doppia in n-l punti, corrispon- 

 denti alle corde di C'„ appoggiate a K' e passanti per uno stosso punto di G'„. Le 

 intersezioni ed i contatti della superficie gobba con linee rette appoggiate o no ad r 

 corrispondono alle intersezioni ed ai contatti della curva G'„ con piani o con quàdriclie 

 per R' ('). 



20. ° Se tutte le tangenti di G'„ incontrano W, vale a dire, se G'„ è la curva 

 cuspidale di una sviluppabile circoscritta a K.', la superficie rigata corrispondente sarà 

 una sviluppabile; infatti, siccome due punti successivi di G',j sono sempre in una 

 retta del complesso così due generatrici successive della corrispondente superficie 

 rigata avranno sempre un punto comune. I punti della curva cuspidale di questa su- 

 perficie corrispondono alle tangenti di G'„, e le tangenti di quella corrispondono ai 

 punti di G'„ 



21. ° Sia ora data in S' una superficie F'. Essa ammette in un suo punto qua- 

 lunque due tangenti appoggiate a K.'; e tutte le rette analoghe saranno le tangenti 

 di un sistema di curve F', delle quali due passano per un punto qualunque di F'. 

 Ai punti ed alle tangenti di una curva T ' corrispondono in ordinatamente le tan- 

 genti e i punti di una curva T; e il luogo di tutte le curve T sarà una superficie F, 

 i cui punti sono le imagini delle tangenti di F appoggiate a K'. Siccome ogni punto 

 di F' appartiene a due curve V, così la corrispondente retta del complesso C toc- 

 cherà due curve F, cioè toccherà F in due punti; questa è dunque la superficie 

 focale del sistema di rette che appartengono al complesso € e che corrispondono 

 ai punti F. Per un punto qualunque di F passa (in generale) una sola curva F, la cui 

 tangente è l'intersezione del piano tangente di F col piano che contiene le rette del 

 complesso C incrociate in quel punto. Ne segue che una sola curva F' è toccata da 

 una retta del complesso che sia tangente ad F. Se in un punto particolare F è 

 toccata da infinite rette del complesso C, la corrispondente retta di C giacerà per 

 intero su F' e farà parte del sistema F'. 



Per tal modo ad ogni punto di F ne corrisponde uno di F', ma viceversa ad 

 un punto di F ne corrispondono due di F. Però a due punti infinitamente vicini 

 dell'una superficie e situati in una retta del relativo complesso corrispondono due 

 punti del pari infinitamente vicini dell' altra superficie e giacenti in una retta del re- 

 lativo complesso, perchè ad un elemento di carva F o F' corrisponde un elemento 

 della corrispondente curva F' o F. Ond'è che ad una curva qualunque tracciata sull'una 

 superficie corrisponderà ima curva tracciata sull'altra: propriamente, ai punti della 

 prima curva corrispondono le generatrici di una superficie rigata circoscritta alla se- 

 conda superficie lungo la seconda curva. Se le tangenti della prima curva sono rette 



ad e' è dell' ordine 4 n (n-l) /i, e per esso la C,j è multipla secondo n-l. Questo luogo ha 

 su K' un punto multiplo secondo h e k punti multipli secondo n-l ; perciò incontrerà K.' in altri 

 n (n-l) -^2h — h — k (n-l) = (n-k) (n-l) h. 

 (') Ossia con sfere, nell' ipotesi suesposta. 



(2) Della corrispondenza di codeste curve le cui tangenti appartengono ai complessi C, C, il 

 sig. LiE ha fatto importantissime applicazioni (Math. Annalcn, t. 5). 



