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del rispettivo complesso C o C', anche le tangenti dell'altra curva hanno l'analoga 

 proprietà, e la superficie rigata diviene svihippahile. 



Lo studio di una superficie qualunque F' concepita come luogo di punti nello 

 spazio S' si traduce così immediatamente nello studio di un sistema 0 doppiamente 

 infinito di rette contenuto nel complesso lineare C: sistema la cui superficie focale F 

 è la corrispondente F'. Se F', a cagione d'esempio, è suscettibile d'essere rappresen- 

 tata punto per punto sopra un piano, questo si potrà considerare come una rappre- 

 sentazione del sistema 0, per modo che ogni retta di 0 avrà per imagine un punto 

 del piano. Se poi i punti e le rette di questo piano si trasformano per dualità nelle 

 rette e nei punti del piano medesimo (o di un altro), le imagini delle rette di $ sa- 

 ranno le rette di un piano. 



22.° Per presentare un esempio, assumiamo una superficie di terz' ordine F' 

 che passi per la conica fondamentale K'. Siccome una retta appoggiata a K' incon- 

 tra F' in altri due punti, così per un punto arbitrario di S passano due raggi del 

 sistema 0, ed un piano arbitrario in S ne contiene due del pari. Il sistema $ è dun- 

 que di secondo grado e ad esso appartiene la retta r, a cagione della retta che F 

 ha nel piano n'. Alle rette che toccano F' e incontrano K' corrispondono i fuo- 

 chi e i piani focali (*) del sistema $; di quale grado sarà il luogo di tali 

 punti e di tali piani? Ossia, quanti fuochi si trovano su di una retta arbitraria g o 

 quanti piani focali passano per essa? Ciò equivale a domandare quante rette sono ad 

 un tempo tangenti di F' e generatrici (di una stessa serie) di una quàdrica per K'. 

 Siccome la quàdrica sega F' lungo una curva di quart' ordine e questa tocca quattro 

 generatrici (di una stessa serie) della quàdrica, così la retta g corrispondente alla 

 quàdrica contiene quattro fuochi e giace in quattro piani focali, vale a dire, la su- 

 perficie focale F del sistema O è di quart' ordine e quarta classe ('). 



La superficie F contiene ventisette rette, sedici delle quali incontrano K' ('); 

 a queste corrispondono perciò sedici punti e piani singolari: vale a dire sedici punti 

 (e sedici piani) tali che tutte le rette del complesso C passanti per essi (situate in 

 essi) appartengono al sistema 0. In altre parole, il sistema 0 contiene sedici fasci 

 piani di raggi. Conducendo una trasversale ad arbitrio per uno de' punti singolari, 

 ad essa corrisponde una quàdrica (per K') la quale conterrà la retta di F' corrispon- 

 dente a quel punto, epperò segherà F' lungo una cubica gobba, che tocca due sole 

 generatrici della quàdrica; dunque la trasversale incontrerà F in due soli punti, oltre 

 al punto singolare. Per conseguenza questo punto è doppio per F. La superficie F 

 ha dunque sedici punti doppi e sedici piani tangenti doppi, che corrispondono alle 

 sedici rette di F appoggiate a K.'. Una qualunque di queste rette ne incontra altre 

 cinque; dunque ciascuno de' sedici punti doppi di F è congiunto ad altri cinque me- 

 diante cinque rette del complesso C ; e siccome tutte le rette di C che passano per 

 uno stesso punto giacciono nel relativo piano polare, così ciascun piano doppio di F 



(') I piani focali sono i piani polari dei fuochi rispetto al complesso C 

 ('^) KuMMER nei Monatsberichte dell'Accademia di Berlino, 1864-65. 



(") Cremona, Mémoire de géomélrie pure sur les surfaces du 3® ordre. (Berlin 1868). — ■ Sulla 

 superficie dì 4" ordine dotata di una conica doppia (Rend. Ist. Lorab. 1871). 



