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contiene sei punti doppi, uno de' quali (cioè il polo del piano) ò congiunto agli altri 

 cinqxie per mozzo di cinque raggi del sistema Correlativamente : por ciascun punto 

 doppio passano sei piani doppi, uno de' quali (il piano polare del punto) è segato dagli 

 altri cinque lungo cinque raggi del sistema $ ('). 



Oltre alla retta a nel piano ed alle sedici rette appoggiate a K', la superfìcie F' 

 ne contiene altre dieci (^i, ci), {bì, ci), {b^, C3), (^^4, Ci), (65, Cs) contenute in cinque 

 piani passanti per la retta a. A ciascuna di queste dieci rette corrisponde un iperbo- 

 loide le cui generatrici sono raggi del sistema 0, ossia rette bitangenti di F. Dunque: 

 ogni raggio, come r, del sistema $ è comune a dieci iperboloidi formati da raggi del 

 sistema medesimo; i dieci iperboloidi formano cinque coppie, e i due di una stessa 

 coppia hanno in comune un altro raggio del sistema, epperò si segano inoltre secondo 

 due rette direttrici: le cinque coppie di direttrici incontrano r negli stessi due punti (^). 



Delle rette b,., c,. Tana incontra otto e l'altra le altre otto delle sedici rette di F' 

 appoggiate a K' ; dunque dei due iperboloidi d'una coppia l'uno contiene otto e l'altro 

 gli altri otto punti doppi di F; e così pure l'uno tocca otto e l'altro gli altri piani doppi. 

 E siccome le otto rette segate da una stessa b 0 c si segano per coppie in quattro 

 punti, ossia giacciono in quattro piani passanti per ìab 0 c, così gii otto punti doppi 

 pei quali passa uno stesso iperboloide giacciono in quattro rette del sistema $ (che non 

 sono rette dell'iperboloide). Per gii otto piani doppi lia luogo la proprietà correlativa. 



I piani passanti per le rette b, c segano F' secondo coniche appoggiate in due punti 

 a k': tali coniche formano dunque dieci fasci conjugati a due a due (^). Due coniche conju- 

 gate giacciono in una stessa quàdrica per K' C"), la quale tocca F' ne' punti comuni alle 

 due coniche, ed alla quale corrisponderà in S una retta (e la sua reciproca) tangente ad F 

 in due punti. Di rette così fatte ne passano due per un punto qualunque (e ne giacciono 

 due in un piano qualunque) dello spazio S; infatti il raggio corrispondente in S', essendo 

 appoggiato a k', incontra F' in due punti M', iV'; e si hanno così due quàdriche, l'una 

 passante per K' e per le coniche di F' situate ne' piani 6,.M', c,.iV', l'altra per K' e 

 per le coniche poste ne' piani &,.iV', c,.if . Al sistema delle quàdriche passanti per K' 

 e tangenti ad F' in coppie di punti allineati col punto b,. Cr corrisponde adunque un 

 nuovo sistema di secondo grado (doppiamente infinito) di rette bitangenti ad F; e 

 siccome queste rette sono a due a due (le due corrispondenti ad una stessa quàdrica) 

 reciproche rispetto a C, così il predetto sistema appartiene ad un complesso lineare 

 che è in involuzione col dato sistema C. Di tali sistemi se ne hanno cinque, quante 

 sono le coppie delle rette c,.. La superficie F è pertanto la superficie focale di sei 

 distinti sistemi di rette, di secondo grado ('), appartenenti a sei complessi lineari, a 

 due a due in involuzione: dei quali sei sistemi di rette l'uno corrisponde ai punti 

 di F' e l'altro ai cinque sistemi di quàdriche per W che toccano in due punti F'. 



(') KUMMER, /. c. 



{-) Corrispondenti a quelli in cui a incontra K'. 



(°) Diciamo co nj agate due coniche poste in piani passanti risp. per W, e,-, dove br, Cr sono 

 in uno stesso piano per a. 



('') Cremona, Mémoire de géométrie pure eie. chap. 9. 



(5) KuMMER /. c. e: Ueler die algebraischen Slralilensysleme, in's hesondere ilber die der crslen 

 und zweiten Ordnimg. (Mera, dell' Accademia di Berlino, 1866). 



