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Si ottengono gli stessi risultati se invece di una superficie di terz' ordine pas- 

 sante per U.' si assume nello spazio S' una superficie di quart 'ordine per la quale K' 

 sia una conica doppia. 



Per tal modo dalle note proprietà delle superficie di terz' ordine e di quelle del 

 quart' ordine, dotate di una conica doppia ('), si conclude la teoria dei sistemi di rette 

 di secondo grado ('), 



In modo simigliante si ridurrebbe lo studio di altri sistemi di rette a quello di 

 altre superficie. 



23,° Le formolo analitiche per la corrispondenza fra gli elementi de' due spazi 

 €, S' sono facili a stabilirsi. Siano x-^ Xq le note coordinate tetraedriche 

 di una retta, soggette alla condizione 



Xi Xr^ Xi X"a ->- 0^3 X(i = 0, 



Assumiamo Xi -+- = 0 come equazione del complesso dato C , e come retta 



fondamentale scegliamo la a^o = 0. Nello spazio siano P' , Q' , R', S' le coordinate 

 di un punto qualunque e 



S' = 0, H- 0'2 _^ ^ 0 



le equazioni della conica fondamentale W, la quale, se si suppone che Q', R' siano coor- 

 dinate cartesiane ortogonali, sarà il circolo imaginario all'infinito: come 

 appunto suppone il sig. Lie. 



Ciascuna delle equazioni xi = 0, X'i = 0, x^ = 0 insieme colla a^g = 0 tletsrmina 

 una congruenza lineare contenente la retta fondamentale, opperò corrispondente ad un 

 piano in S'. Siano R' = 0, P' i Q' = 0, P' — i Q' =0 i tre piani che per tal modo 

 corrispondono alle tre congruenze; allora potremo porre 



xi = R' 



372 = — (P' H- i 0') 

 Xi = — I{ 

 x^=P'-iO' 



Xq = S' 



dove il segno = indica proporzionalità ; e determinando mediante la 



X[ Xi X% X^ -+- 373 J7g = 0, 



(') Veggansi in particolare la Memoria del sig. Casey; On cyclides and spheroquartics nelle 

 Transazioni filosofiche della Società Eeale di Londra, 1871; l'opera del sig. Daeboux: Sur une classo 

 remarquaUe de courhes et de surfaces aìgébriqucs eie. (Paris 1878), nella quale sono menzionati i 

 lavori precedenti d' altri geometri ; e la già ricordata Memoria del signor Lie (Matliera. Anna- 

 len, t. 5). 



(-) Klein, Zur Tkeorie dei- Linien-complexe des erslen und zweilen Grades. (Mathem. Annalen, 

 t. 2). — Lie, l. c. 



