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ne verranno le forinole 



(Vi = ir S^, xr, = — R' S 



(1) iC2 = - (P' H- 2 0') 5', X,= {P'-iQ')S 



X^ = P'2 Q'^ ^ ^0 = ^2 



che danno la retta XiXì, . . Xq del complesso C corrispondente al punto F Q' R' S' 

 dello spazio S'. 



Siano ora P, Q, R, S le coordinate di un punto qualunque della retta x; avremo 

 le note relazioni 



Pxa -+- Sxì — Rxi = 0 

 Qxq — Sxi — Rx^ — 0 



e ponendo per le a; i valori (1) 



PSf — S{F-^iQ')-^RR' = 0 

 QS' — SR' — R{F — iQ') = 0 



e queste sono, meno la diversità dei simboli, le equazioni di Lie. Considerando P Q R S 

 come coordinate di un punto dato in S, le (2) rappresentano la retta corrispondente 

 in S'; perciò le coordinate x'i x\ . . x\ di questa retta saranno espresse come segue: 



dx^QS—PR x'r, = i [R^ — S^) 



(3) x't = i{QS-+-PR) x'~,= R^^S^ 



x'i = — {PS-^QR) x\=2iRS 

 le quali equazioni danno 



x',^-^x\^-^x\^={) 



equazione del complesso di 2° grado C che nello spazio corrisponde ai punti del- 

 l'altro spazio. In questo la retta fondamentale è 7? = 5=0. 



24. ° Mediante questa trasformazione adunque, le congruenze lineari in C cor- 

 rispondono alle quàdriche passanti per la conica fondamentale M.' ; ossia, diremo, alle 

 sfere, ritenuto che ii! sia il circolo imaginario all' infinito. Le rette di una congruenza 

 lineare sono, com'è noto, appoggiate a due rette direttrici, le quali sono rette reci- 

 proche rispetto ad ogni complesso lineare contenente la congruenza. Nel nostro caso 

 adunque, una retta l assunta ad arbitrio (fuori di C ) come direttrice individua una 

 congruenza, la quale risulta formata da tutte le rette del complesso C che segano la 

 retta l e quindi anche la seconda direttrice, cioè la retta reciproca di l. Alla retta l 

 considerata come direttrice di una congruenza corrisponde una sfera, vale a dire, alle 

 rette di C appoggiate ad l corrispondono i punti di una sfera; ma viceversa alla sfera 

 corrispondono due rette (reciproche rispetto al complesso C), le direttrici della con- 

 gruenza i cui raggi sono gli elementi corrispondenti ai punti della sfera. 



25. ° Se dunque ora chiamiamo S la totalità delle rette in uno spazio ordinario, 

 ed la totalità delle sfere in im altro spazio ordinario, S ed S' saranno due spazi 

 di quatti'O dimensioni i cui elementi si possono mettere in relazione tale che ad una 

 retta quahmque in S corrisponde ima sfera in S', ma ad una sfera in S' corrispon- 

 dono in s due rette, le quali sono conjugate o reciproche rispetto ad un determinato 

 complesso (fondamentale) € contenuto in S. 



