Siano ?i . • le ordinarie coordinate tetraedriche di una retta in S ; per le 

 rette x che segano la retta ^ si avrà 



?4 -2^1 ?o Xi -+- ^G 3^3 ?1 ^4 ?2 S3 'Z'g = 0 



e sostituendo alle x i valori (1) avi-emo 



?G (P'^ (?'"^ - /?'^) ^ - ?5) 5' - ^ ^ 0' 5' - (H4 - 11) /ì' 5' ^3 = 0 



equazione della sfera corrispondente alla retta |, 

 Ponendo quest'equazione sotto la forma 



(4) 2 (Ji P' ^X.Q' Z3 fi') y -t- li _^ _ 



i Z3 -V- _^ _^ 0 



e considerando le Zi Z2 • . Z3 come coordinate (omogenee) della sfera, le relazioni fra 

 queste coordinate e le ^ delle rette corrispondenti divengono 



Zi = I2 — ^5 



(5) Z3 = 54 - ?1 



Xi = ^Q — ^3 



Zg = — ^ (^0 ^ H3) 

 $ (Z Z) = (?i ^ ?i)^ a causa di Hi |i ^3 = 0 



ovvero 



Il =— Z3 V/"$]xf) 



$2 = Zi -t- i Zj 



/g\ I3 ^ — Zi -+- ^ Zg 



I4 = Z3 V/^$ ( jj) 



I3 = — Zi -+- ^ Z2 

 le = Z4 -•- i Zg 



dove per brevità si è posto 



$ (Z Z) = Zi^ X.^ Z32 Z4"- Zs^ 



Secondochè nelle (6) si prende il radicale eoi segno -+- 0 col segno — , si ha 

 r una 0 r altra delle due rette corrispondenti alla sfera Z. 

 26.° Il raggio della sfera (4) è 



\/ÒlZZ)T(Z4^iZ5), 



dunque la sfera si riduce ad un punto (cono -sfera) se$ (ZZ)=0, ad un piano 

 se Z4 -H- i Zg = 0. L'equazione $ (Z Z) = 0 dà 5i -t- I4 =^ 0, e la Z4 h- i Zg = 0 cor- 

 risponde alla Iq = 0; dunque alle rette dello spazio S che appartengono al complesso C 

 corrispondono le sfere di raggio nullo, vale a dire i punti dello spazio S', 

 mentre a quelle rette dello spazio S che incontrano la retta fondamentale |g = 0 cor- 

 rispondono le sfere di raggio infinito, vale a dire i piani dello spazio S'. 



Questa elegantissima trasformazione dello spazio S costituito da rette nello spa- 

 zio s' costituito da sfere è dovuta al fecondo ingegno del signor Sophus Lie di 



