Clnistiaiiia, il quale ne ha fatto numeroso c importanti applicazioni, specialmente per la 

 riduzione del problema delle lineo di curvatura d'una superficie a quella dello linee 

 assintoticlie di un'altra superficie, o viceversa ('). Noi abbiamo creduto di dover qui 

 richiamare quella trasformazione, con una veste analitica un po' diversa, perchè di 

 essa abbiamo bisogno per lo scopo di future ricerche, cioè per la deduzione della teoria 

 dei sistemi di rette (congruenze, spazi a due dimensioni formati da rette) dalla teoria 

 di superficie volgarmente conosciute, 



27.° Due sfere X, K determinano un fascio che contiene due punti o coni -sfere, 

 corrispondenti alle radici Xi, dell'equazione quadratica 



(Ji ^ X ì\f ^ {X, X ^ {X, ^ X Fg)"^ 

 -^(li^X n)'-^(l3-^X ¥-^' = 0 



ossia 



4) {X X) -i- 2 X <I) {X X^ $ ( y }") 0 



essendosi posto: 



(!}{Xì') = X,Yi-^ Y, Y, - Z3 Fa X, Y, ^ X,Y,-^ X, Y,. 



Detto dì V angolo delle due sfere X, Y, si ha facilmente 



<I) (110 



cosw = — 



V<^ {XX), 0 {YY) 



1 1 Xi 



vale a dire, co è, secondo il linguaggio della geometria projettiva di Cayley, 

 la distanza de* due elementi X, Y dello spazio di quattro dimensioni S', nel quale 

 si assuma come assoluto lo spazio subordinato di tre dimensioni definito dal- 

 l' equazione 



$ (Z J) = 0, 



cioè la totalità dei punti dello spazio ordinario. 



In tutte le sfere Y che segano una data sfera X sotto un angolo costante, il 

 cui coseno sia K, si ha dunque 



(7) Il Fi X, Y, J3 F3 X, Fi -H- X, Yn h- K V^l^ {XX) {YY) 



Ora, dette y le coordinate di una retta corrispondente alla sfera Y, V equazione pre- 

 cedente, mediante la sostituzione (5), darà 



Xi {uì — i/^ — i I2 il/i ^3 (?/4 — ì/i) Il (^G —y^) — i ^0 (ye y%) 



:^ K{yi-^y,) V<^ {XX) = 0 



(1) Non bisogna però dimenticare i lavori già citati di Dakboux e di Casey, ne' quali è pure 

 studiato a fondo lo spazio di quattro dimensioni i cui elementi sono sfere ; e quelli, pure importan- 

 tissimi, del signor Klein. 



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