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speciali formati dalle vette che segano l'una e l'altra delle due rette x con'ispon- 

 denti ad .Y. In altre parole: se due rette x, y in S si segano, le corrispondenti sfere X, Y 

 in si toccano. Il punto di contatto, come sfera di raggio nullo, corrisponde a quella 

 retta del complesso C che passa pel punto xy q giace nel piano x y. 



31. ° Se xiXì . . . x^, >/i Ili . . . ?/c sono le coordinate di due complessi (in ge- 

 nerale non speciali), e se Xx Xì . . . A'^, //, ed Yi Yi . . . F5, K sono i parametri 

 de* corrispondenti complessi di sfere, avremo per le (9), (10) 



^''1 //i -^l'ì I/o ^ 2/6 ìji -+- X-^ l/i 2/3 = 



= 2[±HK V¥{XXj7¥{YY) — $ {XY)], 

 4 ( Ji Fi - X, Y, X, Y, Zi Fi X, F5) = 

 = 4 $ (Al') = — 2 (o-i ?/4 -+- Xì 2/3 -+- oc^Vg-^ Xi ,vi ^ pi H- .ro 2/3) 



-4- {xi -4- iCi) (yi — iji). 



Dunque se H 0 K e nullo, vale a dire se è zero xi x^ od -+- si ha 



rri yi^...EE— 2$(JF). 



Donde segue che a due complessi di sfere uno de' quali (almeno) sia formato dallo 

 sfere ortogonali ad una sfera X e l'altro dalle sfere seganti sotto angolo costante una 

 sfera F ortogonale ad X, corrispondono due complessi che sono fra loro in involu- 

 zione. In generale, a due complessi in involuzione conùspondono due complessi di sfere 

 (A, H), [Y, K) tali che le sfere-nnclei Z, F si segano sotto nn angolo il cui coseno 

 è ziz // K, essendo //, K i parametri dei due complessi medesimi. 



32. ° È noto che in infinite maniere si possono determinare cinque sfere che 

 a due a due si seghino ad angolo retto. Imaginiamo d' aver trovato un gruppo di 

 cinque sfere li, 1^, 23, li, 1-^ dotato di tale proprietà; dalle cose premesse segue che 

 ai cinque complessi formati dalle sfere che ordinatamente sono ortogonali alle sfere 1 

 corrisponderanno nello spazio S cinque complessi lineari di rette, a due a due in in- 

 voluzione fra loro ed inoltre tutti in involuzione col complesso fondamentale C. Vale 

 a dire: ai sei spazi di tre dimensioni (2), {1\), (lì), {Iz), [li), {Ir,) (') subordinati 

 ad S', costituiti r uno dai punti 0 coni-sfere di S', gli altri dalle sfere che segano 

 ortogonalmente una delle sfere 1, corrispondono sei complessi lineari di rette, C, Cj, 

 *^2) C3, C'i, C3, a due a due in involuzione fra loro. 



Ciò suggerisce naturalmente di riferire gli elementi dello spazio S' alle cinque 

 sfere Ir 0 ai cinque complessi {1,); il che avrà per effetto di riferire simultaneamente 

 gli elementi dello spazio S ai sei complessi C: e saremo così condotti nel modo più 

 spontaneo alle coordinate che il sig. Klein ha introdotto nella geometria dello spazio 

 costituito da rette ('). Già le coordinate X sono relative a cinque sfere a due a due 

 ortogonali; infatti le equazioni 



Q' = 0, R' = 0, 



alle quali si riduce la (4) ponendo uguali a zero le X tranne Xi 0 X^ 0 A3, rappresentano 



(') Indichiamo con (S,) il complesso delle sfere ortogonali alla sfera Sr. 

 (=) L. c. 



