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tre piani ortogonali; mentre l'equazione (4) medesima, postovi X\ — Xi = X-ì = X\s = 0, 

 ovvero X\ = Xi = X-ì = — 0 dà le 



_^ ^'2 7J'2 _ 1 ^ 0 

 p'2 ^ Q't ^ ^ 1 ^ 0 



che rappresentano due sfere ortogonali, il cui centro comune ò il punto P =^ Q! — 

 R' z= 0. Perciò la ricerca di un altro gruppo (generale) di cinque sfere 2r a due a due 

 ortogonali equivarrà alla trasformazione della forma bilineare <I> (1 Y) in se medesima. 

 33.° Posto per brevità 



ai = 2 P' S', 



G-i = 2Q' S', 

 C3 = 2R' 



a = Q'^ — S^, 



a.. = i{P'--^ 0'- R'"' S'^), 



dove ha luogo l'identità ci^ a^^ c^" Gì^ r;^^ := 0, le cinque sfere Ir siano 

 date dalle equazioni 



1 



(11) $33^ 23 = X31 Ci -1- X32 -+- ^33 -+- Z34 Ci Z35 , 



1 



$44 ^4 = Al Ci A'i2 (72 -+- Zi3 C3 -1- ^4 0'4 ^43 Cg , 

 $ob^ = -^al (7i Zg2 (72 ^^53 ^3 -1- Z34 (74 -1- ^53 (7g , 



dove 



(12) 0,.=- X.' -4- Z,,^ X,: -4- X/. 

 L'ortogonalità delle due sfere 2r> 2, sarà espressa dalla condizione 



ossia 



(13) Xri Xsi -t- Xri ^5 -■(- ^3 Ai Ao A5 — 0. 



Sia A il determinante de' coefficienti X e suppongasi eh' esso non sia nullo; escludasi 

 cioè che le cinque sfere siano ortogonali ad una medesima sesta sfera. 

 Dalle (12), (13) si hanno le 



Xrs A = <^r 



ÒX,, 



epperò dalle (11): 



Y V Y y Y 



(14) Gr = 1 2i -I 7 22 j 23 T 24 -^ 1 2S- 



$11- $22' $33' $44' $55' 



e 



(15) 



(71^ ^ (732 ^ <74^ CTs^ = 



= 22^ 23^ ^ 24*'^ ^ 2r,^ 



