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Sull'uso analitico delle, differenze tra le radici 

 nella teorica delle equazioni algeMclie. 

 Memoria del socio S. R. Minich 



letta nella sessione del 6 gingilo 1875. 



Nelle teorie generali delle equazioni algebriche torna opportuno l'uso delle diffe- 

 renze tra le radici, attesoché le stesse funzioni cicliche, cioè quelle funzioni espresse 

 per le radici dell'unità, che rimangono invariabili per la sostituzione circolare delle 

 radici della data equazione, non sono che funzioni delle differenze di queste radici. 

 Può quindi a tal uopo essere proficuo il facile metodo, che mi propongo di esporre 

 in questa Memoria, con alcune delle più ovvie applicazioni. 



§ 1. Equazioni elementari. 



Proposta l'equazione generale 



(1) k{x) = x" -t- fli a;" ^ -t- Qì a;" ~ - -t- ... -I- a„ _ i a; -i- a„ 0, 



le cui radici denoteremo con ìTo, oc^, xi ... Xn — \, prendiamo a considerare l'equazione, 

 le cui radici sieno le differenze tra quelle della data ed una di esse x^^. Si assuma 

 perciò 



(2) x — X(, = y. 

 e la nuova equazione 



A {x,-^y) = A (^o) A' (^„) y ^ A" (^o) ... A « - '){x,) -^£-^^^y"=.0. 



a cagione di A (o^o) = 0, si priverà della radice nulla, mercè la divisione per y, e 

 si ridurrà alla forma 



(3) B (.v) = y - 1-^ bx !/" - bi j/" -v- b„ _ . i/ 6„ _ i = 0, 

 ove si ponga 



~ 2. 3 .... {n — m) ' 



Le radici yo, yu yi .... yn — i della (3) si hanno dalla (2), ponendovi xi, xi .... x,i in 

 luogo di X. 



Ora derivando la (4) rapporto ad Xf^ si trova 



J 2 . 3 . . . (n — m) 



cioè di mano in mano 



Torna quindi pili spedito, o meno laborioso, lo svolgimento di qualunque funzione intera, 

 e in conseguenza d'ogni funzione razionale di aro, e de' coefficienti dell'equazione (3), 



