— 30G — 



§ li. Applicazione del metodo al calcolo delle funzioni mnmelriche delle radici, 

 ed allo svilwppo dell'equazione a' quadrati delle differenze. 



Allorché la proposta funzione intera e razionale di a^o» 2/o> -O) etc. e de'coef- 

 .ficienti delle rispettive equazioni, sia simmetrica rispetto alle radici della data 

 equazione (1), sarebbe simmetrica anco rapporto alle radici di ciascuna dalle equa- 

 zioni ausiliarie (3) (9) (13) etc. In tal caso ogniqualvolta si procede alla riduzione 

 della funzione, mercè la divisione pel primo membro di una qualunque delle equa- 

 zioni di detta serie (3) (9) (13) et?.., si trova eliminata la relativa radice. Impe- 

 rocché r espressione ridotta della funzione proposta essendo inferiore di grado al- 

 l' anzidetta equazione, e dovendo essere soddisfatta per legge di simmetria da cia- 

 scuna delle radici di questa, cioè da un numero di radici superiore al grado della 

 funzione , diviene una identità nella quale dee annullarsi il coefficiente di ciascuna 

 potenza della radice rispettiva; cosicché il valore della funzione richiesta eguaglia 

 la quantità indipendente da quella radice. Così eliminate le quantità determinate 

 dalla serie delle anzidette equazioni, ed ottenuta l'espressione (7) della funzione 

 cercata di grado inferiore ad n rapporto alla ìTo, dovendo 1' equazione (7) avverarsi 

 per ogni altra radice dell' equazione (1), attesa la simmetria della funzione stessa, 

 cioè dovendo pure verificarsi per un numero di radici superiore al suo grado, sarà in 

 conseguenza una identità, per cui, annullandosi ognuno de* coefficienti Ao, A.], ... A,, — ^ 

 delle potenze di x^, rimarià 



(17) 9 = 



Questo metodo è analogo a quello proposto dal Cauchy pel calcolo delle fun- 

 zioni simmetriche delle radici d'ogni equazione alge^.ica, e si fonda sullo stesso 

 principio : se non che il Cauchy suppone data una funzione simmetrica intera delle 

 radici, ed elimina 1' una dopo l'altra le radici stesse col mezzo delle equazioni di 

 grado decrescente, che determinano un numero sempre minore di dette radici per 

 mezzo delle anteriori. Qualora invece sia data una funzione di a-Q, e delle differenze 

 ■J/o» ■^0) "^05 etc. che sia simmetrica rapporto alle radici dell'equazione (1), è manifesto 

 il vantaggio che si può ritrarre dall'uso delle equazioni ausiliarie (3) (9) (13) etc. 

 Ma tuttavia anco nel caso che fosse proposta una funzione delle radici, anziché delle 

 loro differenze, oltre di a-o, si può ricorrere alla serie delle equazioni (3) (9) (12) etc, 

 introducendo di mano in mano nella funzione stessa, a partire dall' ultima, le quan- 

 tità I/o, •^0, Ufi etc, giacché, prescindendo dagli analoghi valori dell'ultime quantità, 

 e risalendo alle anteriori, abbiamo dalle (16) 



5-4=: t»o-i- ir3= Uq^ xi= ro-(- Xi=. yo-*- -'^n , 



Un' ovvia applicazione del presente metodo sì può avere nella ricerca dell'equa- 

 zione a' quadrati delle differenze della (1). Basta avvertire che nella serie delle 

 equazioni (1) (3) (9) (13) etc, tutte le differenze tra le radici d'una di esse sono 

 le radici di tutte l'equazioni susseguenti, per rilevare che si ha l'equazione alle 

 differenze tra tutte le radici della (1), scrivendo nella serie delle (3) (9) (13) etc, 

 in luogo delle incognite y, z, u, etc, una medesima quantità w = [/"j e moltiplicando 



