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fra loro tutte quelle equazioni. Quindi portando in un membro i termini colle po- 

 tenze pari di w, e nell' altro le potenze dispari, ed elevando al quadrato , si avrà 

 r equazione in (, le cui radici sono i quadrati delle differenze della (1). I suoi 

 coefficienti, espressi per quelli delle successive equazioni (3) (9) (13) etc, essendo 

 funzioni simmetriche delle radici della equazione (1), potranno calcolarsi col metodo 

 dianzi indicato ne' § I, IL Ma per non imprendere ad un tratto 1' eliminazione dello 

 quantità determinate dalla serie regrediente delle equazioni (3) (9) (13) etc, giova 

 assegnare, di mano in mano, l'equazione a' quadrati delle differenze di cadauna delle 

 anzidette equazioni ausiliarie, e quindi desumere quella che appartiene alla proposta. 



Daremo per brevità un solo e semplice esempio, cercando 1' equazione a' qua- 

 drati delle differenze della (9), nell' ipotesi che questa sia del 3° grado, cioè 



C (z) = Ci Z^-t- C2 2 -^- 63= 0. 



Cominceremo dall' assegnare l'equazione a' quadrati delle differenze della seguente (13) 



F {u) = u^-^ fi u ^ fi=0, 



assumendo 



per cui dalla F (w) = 0 si passa alla successiva 

 essendo 



gx= Y («o) 2 ^ A • 

 Quindi posto v = \^'t abbiamo 



e poiché il residuo della divisione di 



^1^= (2 A)'=- 4 «0^-^ 4 A u,-^ A* 



pel primo membro di P('Wo) = 0 sarebbe A^ — 4 A, si ha in conseguenza per equa- 

 zione la cui radice è il quadrato della differenza tra le due radici della '^[u) = 0 



«-(A^-4A) = 0. 



Ora scrivendo nella F {u) = 0 in luogo di u la l/i, e separando in un membro i 

 termini affetti dal/"?, abbiamo 



quindi quadrando ed ordinando 



«"^-(A'-2A)f-A''=o, 



e dal prodotto di questa per 1' equazione dianzi ottenuta si ha per equazione a' qua- 

 drati delle differenze della data equazione di 3' grado C (s) = 0 



2 it^' - 3 A) t^-^ ifx'- ?>m - (A'- 4 A) f^}= 0 



i cui coefficienti debbono esprimersi pe' coefficienti Ci, C2, C3 della proposta. 



Potrebbesi a tal fine sostituire nelle due funzioni A"'' — 3A? (A^ — 4 A) A* 

 ad A, A i ^oro valori (14) 



