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cosicché r equazione a' quadrati delle differenze della proposta 



z'^-^ Ci Z^-h- Ci z -+- C3 = 0 



ha per espressione 



(18) {•.•__2(ci"— 3Ci)i'^-i-(cii— 3c,)'^( ) 



— [(ci"-— 4 Ci) c.}— (4 ci^»— 1 8 Ci C2^ 27 C3) C3] ) 



Vedremo del resto nel § IV che ogni funzione razionale de' coefficienti &i, &2 stc. 

 dell'equazione (3) dalla quale si possa eliminare .'^o, mediante l'equazione (1), si 

 esprime per un numero n — 1 di siffatte funzioni della forma più semplice, che si 

 presentano allorché, per la relazione esibita dalla formula (4) 



hx = n Xfj-^ «1, 



si venga a privare la (1) del secondo termine, sostituendovi — ^ ad x^. I valori 



delle n — 1 funzioni predette sono i coefficienti della nuova equazione in&i, e per 

 formarle basta nelle espressioni de' coefficienti stessi annullare a,„ e scrivere in 

 luogo degli altri coefficienti della (1) i coefficienti rispettivi della (3). Così nel caso 

 presente dell'equazione C {z) = 0, avendosi 



eliminando , mercè questa relazione, dalla proposta eguaglianza, che moltiplicata 

 per 3^ ci offre 



(3 z^f^ 3 Ci (3 zo)2 -f- 9 Ci (3 .^0) 27 C3 = 0 , 



ossia 



(A- c,f-^ 3 Ci (/i- ci)^-+- 9 C2 (A- Ci) -4- 27 C3 = 0 , 



ne raccogliamo 



A^— 3 (ci^— 3 C2) A 2 ci^— 9 Ci C2 27 Cg^ 0 , 



ed argomentiamo, per la teoria dianzi annunciata, che le due funzioni f^- — 3 A, 6 

 2 A^ — 9 A A sono quelle che hanno per valori corrispondenti Ci^ — 3 Cj , e 

 2 Ci' — 9 Ci C2 -t- 27 C3 , e mercè le quali si possono esprimere tutte 1' altre funzioni 

 tli A . A . cl^e per 1' eguaglianza C (so) = 0 rimanessero prive di zq. Si trovò infatti 

 poc' anzi 



/•i^— 3A=ci^— 3C2, 



e per avere il valore dell' altra funzione non si ha che a formarne le derivate rap- 

 porto a che non possono oltrepassare il terz' ordine. Ora si trova agevolmente 



D (2 A'- 9 A A) = 18 A'- 18 A'- 27 A=- - 27 A , 

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^D'- = -^DA=-27A, 

 _1_ I)3^_9D/-i = -27, 



e quindi 



2 A^— 9 A A = — 27 (-«''-^- ct zo'^-+- Ci zo) 2 Ci'^— 9 Ci c. , 



