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ossìa, poiché 

 si ottiene 



2 A'— 9AA=2ci3— 9cic,-^27c3. 



È poi facile riconoscere che la funzione già calcolata (A^ — 4 A) A^ si esprime 

 per le due precedenti. Basta a tal uopo eliminarne A^i mercè il cubo di A^ — 3A- 

 Trovasi infatti 



27 (A^-4A)A'-4(A--3Ay' 

 = 27 (A^— 4 A) A'- 4 (A«- 9 A' A-^ 27 A'' A'- 27 A') 

 = - (4 A'' - 36 A-^ 8 1 A' A') = - (2 A'- 9 A A)' 



cioè 



27 (A'-- 4 A) A' = 4 (A'- 3 A)'- (2 A'~ 9 A A)' 



= 4 (ci^— 3 c^):» — (2 ci^— 9 ci 27 c^f. 



Avvertasi che nel caso presente si può ottenere anco l' equazione alle semplici 

 differenze della data equazione di 3" grado. Imperocché ponendo nella (18) t = v^, 

 trasportando nel secondo membro la quantità tutta nota , ed estraendo la radice 

 d'ambo i membri, ne abbiamo 



(19) _ (ci2_ 3 e) vz^l^ [(ci^- 4 e) c^^- (4 01=*- 18 Ci 27 c^) e 3] = 0 , 



le cui radici sono i valori di [/'t, cioè le differenze tra le radici z^, z\, zi della 

 data, in guisa che per uno de' due segni del radicale i tre valori di v sono 



^0 — ^1 , Zi — Zi, Zi Zo > 



e per 1' altro segno del radicale hanno il segno opposto. Infatti la somma di questi 

 tre valori è nulla, e la somma de' loro prodotti binarli sarebbe 



— {21 ■— zo) (si— Zi) — {zi— zx) [zì — zo) — (zo— Zi) (zo — Zi) 



— (3si^-+- 2 Ci Si -4- Ci) — {?,zt^-+- 2ciZ2-i- Ci) — (3 Zo'^-+- 2 Ci zo C2) 



— __ 3 (ci2_ 2 C2) 2 ci'^— 3 C2 = — (ci^— 3 C2), 

 inoltre avendosi (18) 



(zo- 2i)' (zo- Z2)^ (zi — z.2)^ = (ci^— 4 a) c^ - (4 Ci'-» — 18 Cj c^ 27 C3) C3 

 ne viene 



(20 — Zi) {zx— {zi — zo) = — 1/ [(ci^— 4 C2) C2^ — (4 ci^— 18 Ci Ci -t- 27 C3) C3]. 



Non ci estendiamo piìi lungamente nella deduzione con questo metodo delle 

 equazioni a' quadrati delle differenze per altre equazioni di grado maggiore, poten- 

 dosi indicare nel seguente § III un altro mezzo, che guida piìi facilmente al loro 

 sviluppo. 



